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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 18

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = 2 0 1 0 2 0 12 0 0 - 1 3 0       0 1 0 0

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0         0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = 2 0 1 0 2 0 12 0 0 - 1 3 0       0 1 0 0 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0         0 0 0 λ = 2 - λ 0 1 0 2 - λ 0 12 0 0 - 1 3 - λ 0         0 1 0 - λ

Passo 2

Pronto, agora calculando o determinante de det ⁡ A - λ I , temos:

det ⁡ A - λ I = 0 → 2 - λ 0 1 0 2 - λ 0 12 0 0 - 1 3 - λ 0         0 1 0 - λ = 0

→ λ 4 - 7 λ 3 + 5 λ 2 + 7 λ - 6 = 0 →

→ λ - 1 λ 3 - 6 λ 2 - λ + 6 = 0 →

→ λ - 1 λ - 1 λ + 1 λ - 6

λ 1 = 1 , λ 2 = 6 e λ 3 = - 1

Temos que os autovalores de A são 1 , 6 e - 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 1 :

T v = λ v → 2 0 1 0 2 0 12 0 0 - 1 3 0       0 1 0 0 x y z w = 1 ⋅ x y z w → 2 x + z 2 y + w 12 x + 3 z - y = x y z w

Temos então o sistema:

2 x + z = x 2 y + w = y 12 x + 3 z = z - y = w

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = 0

y = - w

z = 0

w = w

Pronto, assim temos:

0 , - w , 0 , w = w 0 , - 1,0 , 1

Passo 4

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 6 :

T v = λ v → 2 0 1 0 2 0 12 0 0 - 1 3 0       0 1 0 0 x y z w = 6 ⋅ x y z → 2 x + z 2 y + w 12 x + 3 z - y = 6 x 6 y 6 z 6 w

Temos então o sistema:

2 x + z = 6 x 2 y + w = 6 y 12 x + 3 z = 6 z - y = 6 w

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = 1 4 z

y = 0

z = z

w = 0

Pronto, assim temos:

1 4 z , 0 , z , 0 = z 1 4 , 0,1 , 0

Passo 5

Para os autovetores associados ao autovalor - 1 :

T v = λ v → 2 0 1 0 2 0 12 0 0 - 1 3 0       0 1 0 0 x y z w = - 1 ⋅ x y z w → 2 x + z 2 y + w 12 x + 3 z - y = - x - y - z - w

Temos então o sistema:

2 x + z = - x 2 y + w = - y 12 x + 3 z = - z - y = - w

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = - 1 3 z

y = 0

z = z

w = 0

Pronto, assim temos:

- 1 3 z , 0 , z , 0 = z - 1 3 , 0,1 , 0

Então os autovetores são da forma:

v 1 = 0 , - 1,0 , 1 , v 2 = 1 4 , 0,1 , 0 e v 3 = - 1 3 , 0,1 , 0

Resposta

λ 1 = 1 , λ 2 = 6 e λ 3 = - 1

v 1 = 0 , - 1,0 , 1 , v 2 = 1 4 , 0,1 , 0 e v 3 = - 1 3 , 0,1 , 0

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