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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 7

  1. Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?
  2. Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :   R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,   1 ) e v = ( - 1 ,   3 ) , respectivamente, determinar T ( 3 u - v ) .
  3. Mostrar que se u e v são vetores próprios de uma transformação linear associados a λ , então α u - β v é também vetor próprio associado ao mesmo λ .

Passo 1

a) A matriz identidade é aquela cheia que tem 1 na diagonal principal e 0 no resto todo.

I = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

Então vamos usar a fórmula do polinômio característico!

det ⁡ I - λ I = 0

1 - λ 0 ⋯ 0 0 1 - λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 - λ = 0

O determinante da matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal!

1 - λ n = 0

Então, a matriz identidade tem n valores próprios iguais a 1 . Agora a gente quer saber quais vetores multiplicados pela matriz identidade tornam-se eles mesmos multiplicados por um escalar. A resposta é moleza: qualquer vetor, menos o nulo! Porque o que a matriz identidade faz é manter o vetor no lugar, como se fosse uma multiplicação pelo escalar 1 , sacou? Então todos os vetores, menos o vetor nulo, são vetores próprios da matriz identidade.

Passo 2

b) Vamos usar a definição dos vetores e valores próprios: T v = λ v . Ela vai ser a salvação!

T u = λ 1 u → T 2 ,   1 = 4 2 ,   1

T v = λ 2 v → T - 1 ,   3 = 2 - 1 ,   3

Agora a gente aproveita que a transformação é linear pra poder mexer na expressão que ele quer:

T 3 u - v = T 3 u - T v = 3 T u - T v

Olhando assim, já temos tudo!

T 3 u - v = 3 T 2 ,   1 - T - 1 ,   3

T 3 u - v = 12 2 ,   1 - 2 - 1 ,   3

T 3 u - v = 24 ,   12 + 2 ,   - 6

T 3 u - v = ( 26 ,   6 )

Passo 3

c) Bora usar a transformação linear de novo pra manipular a expressão:

T u = λ u → α T u = α λ u → T α u = λ α u

T v = λ v → - β T v = - β λ v → T - β v = λ - β v

Somando as duas:

T α u + T - β v = λ α u - β v

T α u - β v = λ α u - β v

Essa aí é a definição dos valores e vetores próprios! Então show, se α u - β v atende a equação, ele é vetor próprio associado a λ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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