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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 3c

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 1 - 1 0 2 3 2 1 1 2

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar aquela fórmula que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 1 - λ - 1 0 2 3 - λ 2 1 1 2 - λ

1 - λ - 1 0 2 3 - λ 2 1 1 2 - λ = 0

Expandindo pela primeira linha:

1 - λ 3 - λ 2 1 2 - λ - - 1 2 2 1 2 - λ = 0

1 - λ 3 - λ 2 - λ - 2 + 4 - 2 λ - 2 = 0

1 - λ λ 2 - 5 λ + 4 + 2 - 2 λ = 0

Fatorando:

1 - λ λ 2 - 5 λ + 4 + 2 = 0

1 - λ λ 2 - 5 λ + 6 = 0

1 - λ λ - 2 λ - 3 = 0

Resolvendo, vamos encontrar nossos três valores próprios, λ 1 = 1 , λ 2 = 2 e λ 3 = 3 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Primeiro vamos botar λ = 1 :

A - I v = 1 - 1 - 1 0 2 3 - 1 2 1 1 2 - 1 x y z = 0 0 0

0 - 1 0 2 2 2 1 1 1 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter:

- y = 0 x + y + z = 0

Daqui, y = 0 e z = - x . Então o vetor próprio de λ = 1 é da forma v = ( x ,   0 ,   - x ) .

Passo 4

Agora vamos ver λ = 2 :

A - 2 I v = 1 - 2 - 1 0 2 3 - 2 2 1 1 2 - 2 x y z = 0 0 0

- 1 - 1 0 2 1 2 1 1 0 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter:

x + y = 0 2 x + y + 2 z = 0

Daqui, y = - x e substituindo na segunda:

2 x - x + 2 z = 0

z = - x 2

Então o vetor próprio de λ = 2 é da forma v = x , - x ,   - x 2 .

Passo 5

Falta só λ = 3 :

A - 3 I v = 1 - 3 - 1 0 2 3 - 3 2 1 1 2 - 3 x y z = 0 0 0

- 2 - 1 0 2 0 2 1 1 - 1 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter:

- 2 x - y = 0 2 x + 2 z = 0 x + y - z = 0

Da primeira, y = - 2 x , e da segunda, z = - x . Substituindo na última, vamos encontrar:

x + - 2 x - - x = 0

0 = 0

Isso aí é meio que verdade sempre, né hahahah

Então o vetor próprio de λ = 3 é da forma v = ( x ,   - 2 x ,   - x ) .

Resposta

λ 1 = 1 : v = x ,   0 , - x

λ 2 = 2 : v = x , - x ,   - x 2

λ 3 = 3 : v = ( x ,   - 2 x ,   - x )

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