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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 29

Sejam β = 1,0 , ( 0,1 ) , β 1 = - 1,1 , ( 1,1 ) , β 2 = 3 , 1 , ( 3 , - 1 ) e β 3 = 2,0 , ( 0,2 ) bases ordenadas de R 2 ,

a ) Ache as matrizes mudança de base:

i ) I β β 1 i i ) I β 1 β i i i ) I β 2 β i v ) I β 3 β

b ) Quais são as coordenadas do veotr v = 3 , - 2 em relação à base:

i ) β i i ) β 1 i i i ) β 2 i v ) β 3

c ) As coordenadas de um vetor v em realção à base β 1 são dadas por:

v β 1 = 4 0

Quais são as coordenadas de v em relação à base:

i ) β i i ) β 2 i i i ) β 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a :

O primeiro passo para resolver esse item é escrever os elementos de β 1 como combinação linear dos elementos da base β . Temos que:

- 1,1 = a 1,0 + b ( 0,1 )

1,1 = c 1,0 + d ( 0,1 )

Dessa forma, temos que a = - 1 ,   b = 1 ,   c = 1   e   d = 1 . Assim,

- 1,1 = - 1 1,0 + 1 ( 0,1 )

1,1 = 1 1,0 + 1 ( 0,1 )

Portanto, a matriz mudança de base de β para β 1 é:

I β β 1 = - 1 1     1 1

Agora é só seguir esse passo para todos os itens:

1,0 = a - 1,1 + b 1,1

0,1 = c - 1,1 + d 1,1

Portanto, a = - 1 2 ,   b = 1 2 ,   c = 1 2   e   d = 1 2 .

Assim,

1,0 = - 1 2 - 1,1 + 1 2 1,1

0,1 = 1 2 - 1,1 + 1 2 1,1

Logo:

I β 1 β = - 1 2 1 2       1 2 1 2

Análogamente, temos que:

1,0 = a 3 , 1 + b 3 , - 1

0,1 = c 3 , 1 + d 3 , - 1

Assim, encontrando os valores de a , b ,   c   e   d , temos

a = b = 1 2 3   ,   c = 1 2   e     d = - 1 2

Portanto,

1,0 = 1 2 3 3 , 1 + 1 2 3 3 , - 1

0,1 = 1 2 3 , 1 - 1 2 3 , - 1

Logo:

I β 2 β = 1 2 3 1 2 3       1 2 - 1 2

E para o item i v , temos:

1,0 = 1 2 2,0 + 0 ( 0,2 )

0,1 = 0 2,0 + 1 2 ( 0,2 )

Logo:

I β 3 β = 1 / 2 0       0 1 / 2

Passo 2

Item b:

Para descobrir as coordenadas, fazemos o seguinte:

v = ( 3 , - 2 )

Na base β as coordenadas são dadas pelos coeficientes da combinação linear com β :

3 , - 2 = a 1,0 + b ( 0,1 )

É fácil notar que a = 3 e b = - 2 , portanto as coordenadas do vetor v na base β :

v β = 3 - 2

Na base β 1 , temos:

3 , - 2 = a - 1,1 + b ( 1,1 )

Temos:

b - a = 3

b + a = - 2

Logo:

2 b = 1

b = 1 2

a = - 5 2

Logo:

v β 1 = - 5 / 2 1 / 2

Para a base β 2 , temos:

3 , - 2 = a 3 , 1 + b ( 3 , - 1 )

Temos:

a 3 + b 3 = 3

a + b = 3

a - b = - 2

Logo:

2 a = 3 - 2

a = 3 - 2 2

b = 3 - 3 - 2 2  

b = 3 + 2 2

Portanto:

v β 2 = 3 - 2 2 3 + 2 2

Para a base β 3 , temos:

3 , - 2 = a 2,0 + b ( 0,2 )

a = 3 2

b = - 1

v β 3 = 3 2 - 1

Passo 3

Item c:

Para este passo é só fazer o processo inverso do anterior:

v β 1 = 4 0

Ou seja, a = 4 e b = 0 .

v = x , y = 4 - 1,1 + 0 ( 1,1 )

x = - 4

y = 4

v = ( - 4,4 )

Portanto:

- 4,4 = a 1,0 + b ( 0,1 )

É fácil notar que a = - 4 e b = 4 , portanto as coordenadas do vetor v na base β :

v β = - 4 4

Para a base β 2 , temos:

- 4,4 = a 3 , 1 + b ( 3 , - 1 )

Temos:

a 3 + b 3 = - 4

a + b = - 4 3 3

a - b = 4

Logo:

2 a = 4 - 4 3 3

2 a = 12 - 4 3 3

a = 12 - 4 3 6

b = 12 - 4 3 6 - 4  

b = - 12 - 4 3 6

Portanto:

v β 2 = 12 - 4 3 6 - 12 - 4 3 6

Para a base β 3 , temos:

- 4,4 = a 2,0 + b ( 0,2 )

a = - 2

b = 2

v β 3 = - 2 2

Resposta

a ) i ) I β β 1 = - 1 1     1 1 i i ) I β 1 β = - 1 2 1 2       1 2 1 2 i i i ) I β 2 β = 3 6 3 6       1 2 - 1 2 i v ) I β 3 β = 1 / 2 0       0 1 / 2

b ) i )   v β = 3 - 2 i i ) v β 1 = - 5 / 2 1 / 2 i i i ) v β 2 = 3 - 2 2 3 + 2 2 i v ) v β 3 = 3 2 - 1

c ) i ) v β = - 4 4 i i ) v β 2 = 12 - 4 3 6 - 12 - 4 3 6 i i i ) v β 3 = - 2 2

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