Determinar o operador linear T : R 2 → R 2 cujos valores próprios são λ 1 = 3 e λ 2 = - 2 associados aos vetores próprios v 1 = x ( 1 ,   2 ) e v 2 = - x ( 1 ,   0 ) , respectivamente.

Passo 1

A melhor coisa pra usar em questão de valores e vetores próprios é a própria definição deles!

T v = λ v

Podemos substituir os valores e vetores que ele nos deu, ó. Primeiro pra λ 1 e v 1 :

T x 1 ,   2 = 3 x 1 ,   2

T 1 ,   2 = ( 3 ,   6 )

Agora pra λ 2 e v 2 :

T ( - x 1 ,   0 ) = - 2 ( - x 1 ,   0 )

T 1 ,   0 = ( - 2 ,   0 )

Passo 2

O que a gente vai fazer é tentar achar as transformações dos vetores da base canônica. Já temos T ( 1 ,   0 ) , agora falta T ( 0 ,   1 ) . Pra isso, a gente subtrai as duas equações!

T 1 ,   2 - T 1 ,   0 = 3 ,   6 - - 2 ,   0

T 0 ,   2 = ( 5 ,   6 )

Dividindo por 2 :

T 0 ,   1 = 5 2 ,   3

Passo 3

Beleza, encontramos a base canônica. Agora a gente vai partir disso e chegar na transformação T ( x ,   y ) . Pegou a ideia?

T 1 ,   0 = - 2 ,   0 → T x ,   0 = - 2 x ,   0

T 0 ,   1 = 5 2 ,   3   → T 0 ,   y = ( 5 y 2 ,   3 y )

Somando as duas:

T x ,   y = ( - 2 x + 5 y 2 , 3 y )

Resposta

T x ,   y = ( - 2 x + 5 y 2 , 3 y )

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