Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 5

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : P 2 → P 2 tal que T a x 2 + b x + c = a x 2 + b x + c

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A base que gera qualquer polinômio de segundo grau é:

β = 1 , x , x 2

T 0 x 2 + 0 x + 1 = T 1 = x = 0 1 + 1 x + 0 x 2

T 0 x 2 + 1 x + 0 = T x = 1 = 1 1 + 0 x + 0 x 2

T 1 x 2 + 0 x + 0 = T x 2 = x 2 = 0 1 + 0 x + 1 x 2

Temos:

T = 0 1 0       1 0 0       0 0 1

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

0 - λ 1 0       1 0 - λ 0       0 0 1 - λ = 0

- λ 2 1 - λ - 1 - λ = 0

λ 2 1 - λ - 1 - λ = 0

1 - λ ( λ 2 - 1 ) = 0

É possível notar que, temos como raízes:

λ 1 = 1

λ 2 = - 1

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = 1 :

0 1 0       1 0 0       0 0 1 c b a = 1 c b a

b c a = c b a

b = c

c = b

a = a

O autovetor:

v 1 = a x 2 + b x + b

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V 1 = a x 2 + b x + b , quando λ = 1 .

Passo 3

Para λ 2 = - 1 :

0 1 0       1 0 0       0 0 1 c b a = - 1 c b a

b c a = - c b a

b = - c

c = - b

a = - a → a = 0

O autovetor:

v 2 = b x - b

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 2 , ou seja, V - 1 = b x - b , quando λ = - 1 .

Resposta

v 1 = a x 2 + b x + b   p a r a   λ = 1  

v 2 = b x - b p a r a   λ = - 1  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são vetores próprios das correspondentes matrizes: v = ( - 2 ,1 ) , M = 2 2 1 3 v = 1 ,1 ,2 , M = 1 1 1 0 2 1 0 2 3 v = ( - 2 ,1 ,3 ) , M = 1 - 1
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 3 - 1 5
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1
Seja T : V → V um operador linear não-inversível. Os vetores não nulos do núcleo de T são vetores próprios? Em caso afirmativo, determinar o valor próprio associado e, em caso negativo, justificar.
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = - 1 - 4 14 2 - 7 14 2 - 4 11