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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 14

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = 1 1 2 1 2 1 2 1 1

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ 1 2 1 2 - λ 1 2 1 1 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → 1 - λ 1 2 1 2 - λ 1 2 1 1 - λ = 0

→ 1 - λ 2 - λ 1 - λ + 2 + 2 - 4 2 - λ - 1 - λ - 1 - λ = 0 →

→ 1 - λ 2 - λ 1 - λ + 4 - 8 + 4 λ - 2 1 - λ = 0 →

→ 1 - λ 2 - λ 1 - λ - 4 + 4 λ - 2 + 2 λ = 0 →

→ 1 - λ 2 - λ 1 - λ - 6 + 6 λ = 0 →

→ 1 - λ 2 - λ 1 - λ - 6 1 - λ = 0 →

→ 1 - λ 2 - λ 1 - λ - 6 = 0 →

→ 1 - λ 2 - 2 λ - λ + λ 2 - 6 = 0 →

→ 1 - λ - 3 λ + λ 2 - 4 = 0 →

λ 1 = 1 , λ 2 = 4 e λ 3 = - 1

Temos que os autovalores de A são 1 , 4 e - 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 1 :

T v = λ v → 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x y z = 1 ⋅ x y z → x + y + 2 z x + 2 y + z 2 x + y + z = x y z

Temos então o sistema:

x + y + 2 z = x x + 2 y + z = y 2 x + y + z = z

Isolando os termos vamos achar os valores:

y = - 2 z

x + y + z = 0 → z - 2 z + z = 0 → 0 = 0

2 x + y = 0 → 2 x - 2 z = 0 → x = z

Pronto, assim temos:

z , - 2 z , z = z 1 , - 2,1

Passo 4

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 4 :

T v = λ v → 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x y z = 4 ⋅ x y z → x + y + 2 z x + 2 y + z 2 x + y + z = 4 x 4 y 4 z

Temos então o sistema:

x + y + 2 z = 4 x x + 2 y + z = 4 y 2 x + y + z = 4 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

- 3 x + y + 2 z = 0 → y = 3 x - 2 z → y = 3 x - 2 x → y = x

x - 2 y + z = 0 → z = - x + 2 y → z = - x + 6 x - 4 z → z = x

2 x + y - 3 z = 0 → 2 x + x - 3 x = 0 → 0 = 0

Pronto, assim temos:

x , x , x = x 1,1 , 1

Passo 5

Para os autovetores associados ao autovalor - 1 :

T v = λ v → 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x y z = - 1 ⋅ x y z → x + y + 2 z x + 2 y + z 2 x + y + z = - x - y - z

Temos então o sistema:

x + y + 2 z = - x x + 2 y + z = - y 2 x + y + z = - z

Isolando os termos vamos achar os valores:

2 x + y + 2 z = 0 → y = - 2 x - 2 z → y = 2 z - 2 z → y = 0

x + 3 y + z = 0 → x = - 3 y - z → x = 6 x + 6 z - z → x = - z

2 x + y + 2 z = 0 → - 2 z + 0 + 2 z = 0 → 0 = 0

Pronto, assim temos:

- z , 0 , z = z - 1,0 , 1

Então os autovetores são da forma:

v 1 = 1 , - 2,1 , v 2 = 1,1 , 1 e v 3 = - 1,0 , 1

Resposta

λ 1 = 1 , λ 2 = 4 e λ 3 = - 1

v 1 = 1 , - 2,1 , v 2 = 1,1 , 1 e v 3 = - 1,0 , 1

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