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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 2c

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2

    2. ( x , y ) → x + y , x - y

  2. g : R 2 → R

    3. ( x , y ) → x y

  3. h : M 2 → R

    4. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  4. k : P 2 → P 3

    5. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  5. M : R 3 → R 2

    6. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  6. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos dar uma olhada nesse item c), ele é similar aos itens anteriores, porém agora temos uma transformação diferente.

Passo 2

Para ser transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

Passo 3

Testando nosso primeiro requisito a transformação do item c). Vamos supor duas matrizes u   e   v ,   que estão de acordo com nossa transformação:

  c )   h : M 2 → R

a c       b d → det ⁡ a c       b d

Sabendo que:

T a c       b d = det ⁡ a c       b d = ( a d - b c )

Vamos supor:

  u = a 1 c 1       b 1 d 1 → det ⁡ a 1 c 1       b 1 d 1 v = a 2 c 2       b 2 d 2 → det ⁡ a 2 c 2       b 2 d 2

Ou seja:

T u = a 1 d 1 - b 1 c 1

T v = a 2 d 2 - b 2 c 2

Vamos testar para a soma, então vamos somar as matrizes u   e   v :

T a 1 c 1       b 1 d 1 + a 2 c 2       b 2 d 2 = T a 1 + a 2 c 1 + c 2       b 1 + b 2 d 1 + d 2

T u + v = T a 1 + a 2 c 1 + c 2       b 1 + b 2 d 1 + d 2 =   a 1 + a 2 d 1 + d 2 - b 1 + b 2 c 1 + c 2

Fazendo o chuveirinho:

T u + v = a 1 d 1 + a 2 d 1 + a 1 d 2 + a 2 d 2 + - b 1 c 1 - b 1 c 2 - b 2 c 1 - b 2 c 2

Separando os termos com índice 1, dos termos de índice 2 e dos termos que possuem ambos os índices:

T u + v = a 1 d 1 - b 1 c 1 + a 2 d 2 - b 2 c 2 + a 2 d 1 + a 1 d 2 - b 1 c 2 - b 2 c 1

Olhando o lado direito do nosso requisito T u + T v teríamos:

T u + T v = det ⁡ u + d e t ⁡ ( v ) = a 1 d 1 - b 1 c 1 + a 2 d 2 - b 2 c 2

Então:

T u + v = T u + T v + a 2 d 1 + a 1 d 2 - b 1 c 2 - b 2 c 1

Logo T u + v ≠ T u + T ( v ) e não podemos considerar essa transformação linear

Passo 4

Olhando nosso segundo requisisto:

T k u = k T u

T k a 1 c 1       b 1 d 1 = T k a 1 k c 1       k b 1 k d 1

T k a 1 k c 1       k b 1 k d 1 = det ⁡ k a 1 k c 1       k b 1 k d 1 = k a 1 k d 1 - k b 1 k c 1

Como a multiplicação de uma constante por uma constante é uma constante, temos:

T k u = k a 1 d 1 - k b 1 c 1

T k u = k a 1 d 1 - b 1 c 1

Como T u = det ⁡ a 1 c 1       b 1 d 1 = a 1 d 1 - b 1 c 1 , temos que:

T k u = k det ⁡ a 1 c 1       b 1 d 1 = k T u

Então apesar dessa transformação ser fechada para o produto por escalar, não podemos considerar ela linear, porque ela não é fechada para a soma, como vimos no Passo 3.

Resposta

Não é linear.

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