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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 10

Sejam R ,   S e T três transformações lineares de R 3 em R 3 .

Se R = 1 2 0       0 1 - 1       1 1 1 e S = - 2 3 1       1 1 - 2       - 1 2 0 , ache T tal que R = S ∘ T .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado pede que a gente ache a transformação T . Temos que:

R = S T

Vamos isolar T .

S - 1 R = S - 1 S 1 T

T = S - 1 R

Agora precisamos calcular a inversa de S através de 3 passos:

Passo 1: Vamos pegar a matriz S e escrever a matriz identidade ao lado dela:

- 2 3 1       1 1 - 2       - 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 2: Agora vamos escalonar a nossa matriz S até transformá-la na matriz identidade a partir de operações em linha, e aplicar as operações nas duas matrizes simultaneamente:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 2 - 7       2 1 - 3       3 1 - 5

Passo 3: A matriz inversa é essa nova matriz que surgiu no lado direito

S - 1 = 4 2 - 7       2 1 - 3       3 1 - 5

Então continuando nossa resolução:

T = S - 1 R

T = 4 2 - 7       2 1 - 3       3 1 - 5 1 2 0       0 1 - 1       1 1 1

T = 8 4 - 13       - 1 0 2       9 4 - 15

Já achamos a matriz [ T ] agora temos que achar a transformação T .

Passo 2

Para fazer isso a gente precisa achar o vetor v que torna [ T ] uma transformação linear, faremos isso da seguinte forma:

T v = 8 4 - 13       - 1 0 2       9 4 - 15 x y z

T v = 8 x - y + 9 z 4 x + 4 z - 13 x + 2 y - 15 z

Logo:

T v = [ 8 x - y + 9 z , 4 x + 4 z , - 13 x + 2 y - 15 z ]

Dessa forma qualquer v = ( x ,   y ,   z ) faz com que R = S ∘ T

Resposta

T v = 8 x - y + 9 z , 4 x + 4 z , - 13 x + 2 y - 15 z

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