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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 23

Ache o centro e o raio da circunferência

x^2 + y^2 + z^2 - 2 x + 4 y - 4 = 0

⎨ x - 2 y + z + 1 = 0

Passo 1

E aí, galera! Essa questão segue o mesmo molde das outras questões que precisamos determinar o raio da circunferência formada por uma interseção entre um plano e uma superfície esférica. Vamos pelo básico de sempre que é começar escrevendo a equação da superfície esférica em sua forma reduzida:

x^2 + y^2 + z^2 - 2 x + 4 y - 4 = 0

=> x^2 - 2 x + 1 - 1 + y^2 + 4 y + 4 - 4 + z^2 - 4 = 0 ( s o m a n d o e s u b t r a i n d o 1 e 4 )

=> ( x - 1 )^2 + ( y^() + 2 )^2 + z^2 = 9

Ou seja, temos o centro em C = ( 1 , - 2,0 ) e o raio da esfera é r = 3 .

Agora, precisamos achar o raio r ' e o centro C ' dessa circunferência. Para o raio r ' , podemos utilizar Pitágoras no triângulo formado pelo segmento d ( C , pi ) e o raio que liga o centro C e o ponto de interseção. Então, vamos lá:

d ( C , pi ) = (| 1 * 1 - 2 * ( - 2 ) + 1 * 0 + 1 |)/(sqrt(1 + 4 + 1)) = (| 6 |)/(sqrt(6)) = (6)/(sqrt(6)) = sqrt(6) ,

onde os valores de a , b e c vieram do plano dado na questão.

Logo,

d ( C , pi )^2 + r '^2 = r^2 => ( sqrt(6) )^(2 ) + r '^(2 ) = ( 3 )^2 => r ' = sqrt(9 - 6) = sqrt(3) .

Passo 2

Por fim, precisamos do ponto C ' . Para achá-lo, vamos utilizar uma reta que passa pelos pontos C e C ' . Tomando C = ( 1 , - 2,0 ) como coordenada inicial dessa reta e com o vetor diretor vec v = ( x , y , z ) sendo paralelo ao vetor normal vec n = ( 1 , - 2,1 ) , do plano dado. Teremos:

vec v = alpha vec n => ( x , y , z ) = alpha ( 1 , - 2,1 )

e a equação da reta será r = ( 1 , - 2,0 ) + alpha ( 1 , - 2,1 ) = ( 1 + alpha , - 2 - 2 alpha , alpha ) :

Agora, basta substituir em x - 2 y + z + 1 = 0 para saber qual o valor de alpha que nos fornece a interseção:

1 + alpha - 2 * ( - 2 - 2 alpha ) + alpha + 1 = 0

=> 1 + 6 alpha + 4 + 1 = 0

=> 6 alpha = - 6

=> alpha = - 1

Então, o ponto C ' ocorrerá quando a reta assumir o valor de alpha = 1 . Logo:

C ' = ( 1 + ( - 1 ) , - 2 - 2 * ( - 1 ) , - 1 ) = ( 0,0 , - 1 ) .

Resposta

( 0,0 , - 1 ) e sqrt(3)

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma equação da superfície esférica que passa pelo ponto A = ( - 1,2 , 1 ) e tangencia o plano x - y + z - 2 = 0 no ponto T = - 1 , 0 , 3 .
Ache uma equação da superfície esférica que tangencia o plano x + y + 2 z - 4 = 0 no ponto A = ( 2,0 , 1 ) e cujo centro pertence ao plano x + y + z + 1 = 0
Ache a superfície esférica tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sabendo-se que P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto da superfície esférica.
Determine uma equação da superfície esférica de centro C = ( 3 , - 2,1 ) tangente ao plano 2 x - y - 2 z - 15 = 0 . Determine também as coordenadas do ponto de tangência.
Determine os planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 , que passam pela reta x - y + 2 z - 3 = 0 x + 2 z - 1 = 0