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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 18

Determine os planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 , que passam pela reta x - y + 2 z - 3 = 0 x + 2 z - 1 = 0

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

A nossa superfície esférica é determinada por:

E : x 2 + y 2 + z 2 = 1

C = 0 , 0 , 0   e   R = 1

A reta r é a interseção de dois planos. Portanto, para z = t , temos:

r : x = 1 - 2 t y = - 2 z = t ; t ∈ R

Passo 2

A distância entre o ponto O e o centro da esfera é:

d O , C = 5

A distância entre o centro e o ponto de tangência é:

d C , T = R = 3

O raio faz com o ponto de tangência um ângulo reto. Portanto, temos um triângulo retângulo formado por:

d O , C 2 = d C , T 2 + d O , T 2

Assim,

d O , T = 4

Passo 3

Logo, os planos tangentes terão como vetores normais:

n → = ( 0 , ± 3,4 )

Assim, as equações dos planos são:

π 1 : 3 y + 4 z = 0

π 2 : - 3 y + 4 z = 0

Resposta

π 1 : 3 y + 4 z = 0

π 2 : - 3 y + 4 z = 0

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