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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 15

Ache a superfície esférica tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sabendo-se que P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto da superfície esférica.

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? :D

Para descobrirmos a equação da superfície esférica citada, precisamos achar o centro C da esfera e o raio R .

Passo 2

Os planos citados no enunciado são planos tangentes, portanto apenas 1 ponto dos planos pertence a esfera. Vamos verificar se P é um desses pontos de tangência.

P   ∈ 2 x + 2 y + z - 6 = 0 ?

2 1 + 2 2 + 0 - 6 = 0

6 - 6 = 0

0 = 0

P pertence ao plano.

Passo 3

Como os planos citados são planos paralelos e tangentes à esfera, temos que:

d ( π 1 , π 2 ) = 2 R

A distância entre os planos paralelos é igual a:

d P , π 2 = 2 R

1 2 2 1 + 2 2 + 1 0 + 12 4 + 4 + 1 = R

1 2 18 3 = R

R = 3

Passo 4

n → = 2,2 , 1 é o vetor diretor da reta r que passa pelos pontos C e P . Logo

r : x = 1 + 2 t y = 2 + 2 t z = t ; t ∈ R

Já que C pertence a reta r ele deve satisfazer a equação da reta.

C = ( 1 + 2 t , 2 + 2 t , t )

Passo 5

A distância entre P e C é o raio da esfera, Assim:

d P , C = R

1 + 2 t - 1 2 + 2 + 2 t - 2 2 + t 2 = 3

4 t 2 + 4 t 2 + t 2 = 3

3 t = ± 3

t = 1   o u   t = - 1

Se t = 1 , então:

C = 3,4 , 1

Para t = 1 os dois planos dados não serão tangentes.

S e   t = - 1 , então:

C = ( - 1,0 , - 1 )

Concluímos que:

E : x + 1 2 + y 2 + z + 1 2 = 9

Resposta

E : x + 1 2 + y 2 + z + 1 2 = 9

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