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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 11

Ache uma equação da superfície esférica que tangencia o plano x + y + 2 z - 4 = 0 no ponto A = ( 2,0 , 1 ) e cujo centro pertence ao plano x + y + z + 1 = 0

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo na paz? 😊

Para acharmos a equação dessa superfície esférica, precisamos encontrar as coordenadas do seu centro C e o tamanho do seu raio R .

E : x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = R 2  

Passo 2

O plano que tangencia a esfera tem seu vetor normal igual a:

n → = ( 1,1 , 2 )

n → é o vetor diretor da reta que passa pelos pontos A e C .Portanto:

r : x = 2 + t y = t z = 1 + 2 t ; t ∈ R

Passo 3

A interseção de r com o plano x + y + z + 1 = 0 é o ponto C . Logo:

2 + t + t + 1 + 2 t + 1 = 0

4 t + 4 = 0

t = - 1

Assim:

C = ( 1 , - 1 , - 1 )

Passo 4

A distância entre A e C é o raio.

d A , C 2 = R 2

R 2 = 2 - 1 2 + 0 + 1 2 + 1 + 1 2

R 2 = 6

Concluímos que a equação da esfera é:

E : x - 1 2 + y + 1 2 + z + 1 2 = 6

Resposta

E : x - 1 2 + y + 1 2 + z + 1 2 = 6

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