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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 24

Dada a superfície esférica       x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9   = 0 e o plano x   + y + z - 1 = 0 ,

  1. determine a posição relativa da superfície e o plano;
  2. se o plano for:

externo, calcule a distância do centro ao plano;

tangente, calcule as coordenadas do ponto de tangência;

secante, calcule as coordenadas do centro e o raio da circunferência determinada.

Passo 1

  1. Fala, galera! Estudar a posição relativa da superfície e o plano nada mais é que verificar se o plano é tangente, secante ou externo à esfera. Para isso, temos que calcular a distância do centro da esfera até o plano. Se essa distância for maior que o raio da esfera, o plano é externo; se for menor, o plano é tangente; se for igual, o plano é secante. Então, bora lá!

    2. x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9   = 0

    ⇒ x 2 - 3 x + 9 4   -   9 4   + y 2 + z 2 - 9   = 0   s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   9 4

    ⇒ ( x - 3 2 ) 2   + y 2 + z 2 =   45 4

    Ou seja, o centro da esfera está no ponto C   =   ( 3 2 , 0,0 ) e o raio r = 45 4   =   3 2 5 ≈ 3,35 .

    d ( C ,   π )   =   | 1 ⋅ 3 2   + 1 ⋅ 0   + 1 ⋅ 0   - 1 | 3   =   | 1 2 | 3   = 3 6   ≈ 0,29  

    Logo, achamos d ( C ,   π )   < r   nos informando que o plano está dentro da superfície esférica e possui interseção com dois pontos da esfera.

    Passo 2

  2. Já que o plano é secante, temos que calcular as coordenadas do centro e o raio da circunferência determinada. O raio da circunferência é dado usando o Teorema de Pitágoras

d ( C ,   π ) 2 + r ' 2 = r 2 ⇒ ( 3 6 ) 2   + r ' 2   = ( 3 2 5 ) 2 ⇒ r ' = 45 4 - 1 12   = 3 ⋅ 45 - 1 12   = 134 12   = 67 6  

Agora, precisamos do ponto C ' . Para achá-lo, vamos utilizar uma reta que passa pelos pontos C e C ' . Tomando C   = ( 3 2 , 0,0 ) como coordenada inicial dessa reta e com o vetor diretor v →   =   ( x , y , z ) sendo paralelo ao vetor normal n →   =   ( 1,1 , 1 ) , do plano dado. Teremos:

v →     = α   n →       ⇒ ( x , y , z )   =   α ( 1,1 , 1 )

e a equação da reta será r   = ( 3 2 , 0,0 )   +   α ( 1,1 , 1 )   =   ( 3 2 +   α , α ,   α ) :

Agora, basta substituir em x   + y + z - 1 = 0 para saber qual o valor de α que nos fornece a interseção:

3 2 +   α   + α   + α   - 1 = 0

⇒ 3 α   + 1 2   =   0  

⇒   α   =   - 1 6

Então, o ponto C '   ocorrerá quando a reta assumir o valor de α   = - 1 6 . Logo:

C '   =     ( 3 2 - 1 6 , - 1 6 ,   - 1 6 ) = ( 4 3 , - 1 6 ,   - 1 6 ) .

Resposta

  1. Secante
  2. r ' = 67 6 e ( 4 3 , - 1 6 ,   - 1 6 )

Exercícios de Livros Relacionados

Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no pontoP c) E : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 6 z - 11 = 0 ; P ( 2 , - 5,6 )
Nos casos em que a equação dada descreve uma superfície esférica, determine o centro e o raio. x - 2 2 + y + 6 2 + z 2 = 25 . x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0 . x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y +
Determine uma equação de cada um dos planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0 nos pontos A e B da mesma, sendo A B uma corda contida na reta x - 1 - 1 = y - 2 2
Dê as equações dos planos que passam pelo eixo O x e são tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 10 y + 16 = 0 .
Determine uma equação da superfície esférica tangente ao plano x + y + z - 1 = 0 no ponto T = 1,1 , - 1 , sabendo que o seu centro está no plano 3 x - y - z + 3 = 0 .