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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 4

Se M = - 1 2 3 2 , ache a forma bilinear B : R 2 × R 2 → R associada à matriz M . Esta forma bilinear é simétrica?

Passo 1

Sejam [ x 1 , y 1 ] e [ x 2 , y 2 ] vetores do R 2 . Então a forma bilinear dada pela matriz é:

B x 1   y 1 , x 2   y 2 = x 1   y 1 - 1 2 3 2 x 2 y 2 = - x 1 x 2 + 2 x 1 y 2 + 3 x 2 y 1 + 2 y 2 y 1

Passo 2

Não, pois M não é simétrica (Teorema 10.4.3).

Resposta

B x 1   y 1 , x 2   y 2 = - x 1 x 2 + 2 x 1 y 2 + 3 x 2 y 1 + 2 y 2 y 1

Não é simétrica.

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Seja A x , y , x ' , y ' = 3 x x ' - y y ' . Ache a forma quadrática Q :R 2 → R associada a A .Seja Q x , y = 2 x 2 + 4 x y - y 2 . Ache a matriz da forma bilinear associada.
Seja Q (x , y) = x^2 + 12 x y - 4 y^2 . Determine uma base beta tal que[v]_beta = [[[x_1],[y_1]]] e Q (v) = a x_1^2 + b y_1^2
Uma forma quadrática Q é chamada positiva definida, se para todo v ≠ 0 , Q v0 .Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)A forma
Seja f uma forma linear de R 2 em R tal que f x , y = - x + 2 y Sejam α = { 1 , - 1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1 } bases de R 2 e R respectivamente. Se v α = - 3 5 , calcule f v β .