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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 8

  1. Seja A x , y , x ' , y ' = 3 x x ' - y y ' . Ache a forma quadrática Q :   R 2 → R associada a A .
  2. Seja Q x , y = 2 x 2 + 4 x y - y 2 . Ache a matriz da forma bilinear associada.

Passo 1

  1. Para achar a forma quadrátrica, façamos:

    2. A x , y , x , y = 3 x 2 - y 2 = Q ( x , y )

    Passo 2

  2. Usando a ideia do exemplo 1 de 10.5:

A B 2 B 2 C

Onde:

A = 2 ; B = 4   e   C = - 1

Logo:

2 2 2 - 1

Resposta

  1. 3 x 2 - y 2 = Q ( x , y ) ;
  2. 2 2 2 - 1 .
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Mostre que se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então B ( v , w ) é um produto interno. Compare com o Exercício 3.
Verifique se as aplicações abaixo são formas bilineares. B : R 2 × R 2 → R definida por B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 + y 2 B : V × V → R definida por B u , v = u , v .
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )