Uma forma quadrática é chamada positiva definida, se para todo , .
- Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)
- A forma quadrática dada pela matriz (em relação à base canônica)
É positiva definida?
Passo 1
- Bom, se a forma quadrática estiver diagonalizada, podemos escrever:
- Vamos calcular seus auto-valores:
Se ela é positiva para todo , então podemos escolher:
Logo:
Fazendo isso para os vetores da base, temos:
Então os autovalores devem ser positivos!
Veja ainda que, eventualmente, um de seus autovalores, não todos, pode ser nulo, o que não contraria a definição.
Passo 2
Disso, temos que seus auto-valores são:
Como um de seus autovalores é negativo, ela não é positiva definida.
Resposta
- Autovalores não-negativos;
- Não é positiva definida.