Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 11
Uma forma quadrática é chamada positiva definida, se para todo , .
- Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)
- A forma quadrática dada pela matriz (em relação à base canônica)
É positiva definida?
Passo 1
- Bom, se a forma quadrática estiver diagonalizada, podemos escrever:
- Vamos calcular seus auto-valores:
Se ela é positiva para todo , então podemos escolher:
Logo:
Fazendo isso para os vetores da base, temos:
Então os autovalores devem ser positivos!
Veja ainda que, eventualmente, um de seus autovalores, não todos, pode ser nulo, o que não contraria a definição.
Passo 2
Disso, temos que seus auto-valores são:
Como um de seus autovalores é negativo, ela não é positiva definida.
Resposta
- Autovalores não-negativos;
- Não é positiva definida.
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre que se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então B ( v , w ) é um produto interno. Compare com o Exercício 3.
Verifique se as aplicações abaixo são formas bilineares. B : R 2 × R 2 → R definida por B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 + y 2 B : V × V → R definida por B u , v = u , v .
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )