Seja . Determine uma base tal que
Passo 1
Primeiro, observe que a matriz na base canônica é dada por:
Conforme aprendemos em 10.5.
Passo 2
Precisamos fazer uma mudança de base tal que a matriz obtida seja diagonal.
Vamos, para isso, achar seus autovalores:
Ou seja, seus autovalores são .
Passo 3
Do nosso estudo , sabemos que a matriz é dada por:
Passo 4
Para achar a base, devemos encontrar os autovetores associados.
Para :
Para escalonar, basta subtrair a segunda linha da primeira multiplicada por . Disso, a gente tem que:
Que gera os autovetores:
Para :
Que podemos escalonar somando a segunda linha com da primeira.
Assim, temos:
Que gera os autovetores:
Passo 5
Assim, a base ortonormal é:
Resposta
Base: .