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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 13

Seja V = R 3 e S = { 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , ( 2,1 , 1 ) } .

  1. Encontre S ⊥ .
  2. Encontre uma base ortogonal para S e S ⊥ .
  3. Se S fosse [ 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , 2,1 , 1 ] , qual seria S ⊥ ? Neste caso, encontre uma base ortogonal para S e S ⊥ .

Passo 1

  1. Perceba que S não é um subespaço, por isso não faz sentido falarmos em base. Queremos apenas o conjunto de vetores que são ortogonais aos vetores de S . Para isso, vamos proceder como abaixo.

    2. Antes de continuar, é importante verificar se os vetores de S são LI para não fazer contas desnecessárias. Fazendo uma combinação linear nula:

    a 1,0 , 1 + b 1,1 , 0 + c 2,1 , 1 = 0

    Que resulta no sistema:

    a + b + 2 c = 0 b + c = 0 a + c = 0

    Das duas últimas temos:

    a = b = - c

    Substitiuindo na primeira:

    - c - c + 2 c = 0

    Então temos:

    - c 1,0 , 1 - c 1,1 , 0 + c 2,1 , 1 = 0

    Fazendo c ≠ 0 :

    2,1 , 1 = 1,1 , 0 + ( 1,0 , 1 )

    Ou seja, podemos descartar o vetor ( 2,1 , 1 ) .

    Disso, temos apenas os vetores ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 0 ) , que você pode concluir rapidamente que são LI.

    Passo 2

    Agora, vamos fazer os produtos internos para achar S ⊥ :

    < x , y , z , 1,1 , 0 >   = 0 < x , y , z , 1,0 , 1 >   = 0

    Que gera o sistema:

    x + y = 0 x + z = 0

    Que nos permite escrever os vetores de S ⊥ :

    x , - x , - x = x ( 1 , - 1 , - 1 )

    Passo 3

  2. Perceba que S não é um subespaço e não faz sentido falar de base.

    3. Passo 4

  3. Nesse caso, S é um subespaço.

Para S ⊥ não precisamos fazer nenhuma conta.

Para S , vamos fazer o procedimento padrão:

u 1 = ( 1,1 , 0 )

u 2 = 1,0 , 1 - < 1,1 , 0 , ( 1,0 , 1 ) > ( 1,1 , 0 ) < 1,1 , 0 , ( 1,1 , 0 ) >

Fazendo os produtos internos:

< 1,1 , 0 , ( 1,0 , 1 ) > = 1

< 1,1 , 0 , 1,1 , 0 > = 1 + 1 = 2

Assim:

u 2 = 1,0 , 1 - 1 2 1,1 , 0 = 1 2 , - 1 2 , 1

Resposta

  1. S ⊥ = ( 1 , - 1 , - 1 ) ;
  2. S não é subespaço;
  3. Base de S : 1,1 , 0 , 1 2 , - 1 2 , 1 . Base de S ⊥ : { ( 1 , - 1 , - 1 ) } .
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