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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 14

Se A = [[[3,-,2],[-,4,3]]] , ache B , de modo que B^2 = A .

Passo 1

Vamos dizer que B = [[[x,y],[z,w]]] e substituir em B^2 = A :

[[[x,y],[z,w]]] * [[[x,y],[z,w]]] = [[[3,-,2],[-,4,3]]]

Vamos resolver a multiplicação:

[[[x,y],[z,w]]] * [[[x,y],[z,w]]] = [[[x,*,x,+,y,*,z,x,*,y,+,y,*,w],[z,*,x,+,w,*,z,z,*,y,+,w,*,w]]] = [[[x^2,+,y,z,x,y,+,y,w],[z,x,+,w,z,z,y,+,w^2]]]

Agora igualando:

[[[x^2,+,y,z,x,y,+,y,w],[z,x,+,w,z,z,y,+,w^2]]] = [[[3,-,2],[-,4,3]]]

Passo 2

Assim vamos resolver o sistema:

{[[x^2 + y z = 3 (1)],[x y + y w = - 2 (2)],[z x + w z = - 4 (3)],[z y + w^2 = 3 (4)]])

Subtraindo (1) e (4) temos:

x^2 = w^2 -> x = +- w

Tomando x = w vamos substituir na (2) e na (3) :

x y + y w = - 2 -> w y + y w = - 2 -> y w = - 1 -> w = - (1)/(y)

z x + w z = - 4 -> z w + w z = - 4 -> z w = - 2 -> z (- (1)/(y)) = - 2 -> z = 2 y

Substituindo x = w , z = 2 y e w = - (1)/(y) em (1) :

x^2 + y z = 3 -> w^2 + 2 y^2 = 3 -> (- (1)/(y))^2 + 2 y^2 = 3 -> (1)/(y^2) + 2 y^2 = 3 -> (1 + 2 y^4)/(y^2) = (3 y^2)/(y^2) -> 2 y^4 - 3 y^2 = - 1 -> y^2 (2 y^2 - 3) = - 1

2 y^2 - 3 = - 1 -> 2 y^2 = 2 -> y = +- 1

Com y = 1 temos:

w = - (1)/(y) = - (1)/(1) = - 1

z = 2 y = 2 * 1 = 2

x = w = - 1

Assim temos que:

B = [[[x,y],[z,w]]] = [[[-,1,1],[2,-,1]]]

Resposta

B = [[[-,1,1],[2,-,1]]]

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