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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 21

Dado o sistema

1 2 0 1 0 2 1 3 2 4 2 4         - 1 - 1 - 1 - 3 x y z w = 2 2 4 8

  1. Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para x , y , z e w .)
  2. Agora, resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução.
  3. Resolva também o sistema homogêneo associado.
  4. Verifique que toda matriz-solução obtida em b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em c) com a solução particular que você encontrou em a).

Passo 1

  1. Aqui temos que ir por tentativa e chute, vamos pegar:

    2. x + 2 y + 2 z - w = 4

    E vamos usar:

    x = 0 , y = 1 , z = 1 e w = 0

    Vamos substituir esses valores:

    x + 2 y + 2 z - w = 4 → 0 + 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 - 0 = 4 → 4 = 4

    Passo 2

  2. Vamos desenvolver a matriz:

    3. 1 2 0 1 0 2 1 3 2 4 2 4         - 1 - 1 - 1 - 3 x y z w = 2 2 4 8

    Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

    1 2 0 1 0 2 1 3 2 4 2 4         - 1 2 - 1 2 - 1 - 3 4 8

    Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

    Primeiro fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

    1 2 0 0 - 2 2 1 3 2 4 2 4         - 1 2 0 0 - 1 - 3 4 8

    Agora fazendo L 3 = - L 1 + L 3 :

    1 2 0 0 - 2 2 0 3 0 4 2 4         - 1 2 0 0 0 - 3 2 8

    Aqui vamos fazer L 4 = - 3 L 1 + L 4 :

    1 2 0 0 - 2 2 0 0 0 - 2 2 4         - 1 2 0 0 0 0 2 2

    Agora L 2 = - 1 2 L 2 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 - 2 2 4         - 1 2 0 0 0 0 2 2

    Aqui vamos fazer L 4 = 2 L 2 + L 4 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 0 2 2         - 1 2 0 0 0 0 2 2

    Fazendo L 3 = 1 2 L 3 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 2         - 1 2 0 0 0 0 1 2

    E aqui vamos fazer L 4 = - 2 L 3 + L 4 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0         - 1 2 0 0 0 0 1 0

    Vamos fazer L 2 = L 3 + L 2 :

    1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         - 1 2 0 1 0 0 1 0

    E por último L 1 = - 2 L 2 + L 1 :

            1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         - 1 0 0 1 0 0 1 0

    Vamos ter então o sistema:

    x - w = 0 y = 1 z = 1 w = λ → x = λ y = 1 z = 1 w = λ

    Passo 3

  3. Vamos desenvolver a matriz:

    4. 1 2 0 1 0 2 1 3 2 4 2 4         - 1 - 1 - 1 - 3 x y z w = 0 0 0 0

    Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

    1 2 0 1 0 2 1 3 2 4 2 4         - 1 0 - 1 0 - 1 - 3 0 0

    Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

    Primeiro fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

    1 2 0 0 - 2 2 1 3 2 4 2 4         - 1 0 0 0 - 1 - 3 0 0

    Agora fazendo L 3 = - L 1 + L 3 :

    1 2 0 0 - 2 2 0 3 0 4 2 4         - 1 0 0 0 0 - 3 0 0

    Aqui vamos fazer L 4 = - 3 L 1 + L 4 :

    1 2 0 0 - 2 2 0 0 0 - 2 2 4         - 1 0 0 0 0 0 0 0

    Agora L 2 = - 1 2 L 2 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 - 2 2 4         - 1 0 0 0 0 0 0 0

    Aqui vamos fazer L 4 = 2 L 2 + L 4 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 0 2 2         - 1 0 0 0 0 0 0 0

    Fazendo L 3 = 1 2 L 3 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 2         - 1 0 0 0 0 0 0 0

    E aqui vamos fazer L 4 = - 2 L 3 + L 4 :

    1 2 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0         - 1 0 0 0 0 0 0 0

    Vamos fazer L 2 = L 3 + L 2 :

    1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         - 1 0 0 0 0 0 0 0

    E por último L 1 = - 2 L 2 + L 1 :

            1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         - 1 0 0 0 0 0 0 0

    Vamos ter então o sistema:

    x - w = 0 y = 0 z = 0 w = λ → x = λ y = 0 z = 0 w = λ

    Passo 4

  4. Aqui vamos somar a solução de a) 0 1 1 0 com a solução de c) λ 0 0 λ :

0 1 1 0 + λ 0 0 λ = λ 1 1 λ

Resposta

  1. 0 1 1 0
  2. λ 1 1 λ
  3. λ 0 0 λ
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Seja D =λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A =a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1⋮… a n 2 … ⋮
Determine todas as matrizes A, 2x2, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2x2, ou sejam tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n =I n A = A para qualquer A, nxn.
Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente.b) Mostre que a i-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i-ésima linha de A, ou seja, se A =A 1 A 2 ⋮ A m
Seja A uma matriz mxn e X =x 1 ⋮ x n uma matriz nx1. Prove que AX = ∑ j = 1 n x j A j , em que A j é a j-ésima coluna de A.