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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 1b

Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:

Passo 1

Falaaaa, galerinha! Tudo bem com vocês?

Como está sendo estudar Álgebra linear? Bem de boa né? E se tiver achando difícil, relaxa que estamos aqui para te ajudar! Essa questão é bem tranquila. Primeiro, vamos atender o que ela nos pede.

Vejamos, temos que saber quais os polinômios das matrizes e com esses mesmos valores acharmos os autovalores, que chamaremos de λ , e os autovetores resultante das operações do polinômio e do autovalor. Vamos lá! 💪

b- 1 - 1 2 4

Se liga só, temos que fazer o λ - a diagonal principal da matriz e achar o determinante, entendeu tudo certinho?! Vamos fazer juntinhos 🥰

1 - λ - 1 2 4 - λ = 0

1 - λ 4 - λ - ( - 2 ) = 0

λ 2 - 5 λ - 6 = 0

Olha só, pessoal, chegamos em uma equação de 2º grau e como resolvemos? Com uma velha amiga nossa: Bhaskara.

λ = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a

λ = - ( - 5 ) ± 5 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 6 2 ⋅ 1

λ = 5 ± 1 2

λ = 5 ± 1 2

λ 1 = 5 + 1 2

λ 1 = 3

λ 2 = 5 - 1 2

λ 2 = 2

Maravilha! O λ 1   e   o   λ 2 são os nossos autovalores da matriz.

Passo 2

E agora pra acharmos os autovetores??? Relaxaaaa. Só precisamos substituir os valores de λ   na matriz. Bora lá🤙

Quando λ = 3

1 - 3 - 1 2 4 - 3

- 2 - 1 2 1

Quando λ = 2

1 - 2 - 1 2 4 - 2

- 1 - 1 2 2

Resposta

λ = 3 ;   λ = 2

Quando λ = 3 : - 2 - 1 2 1

Quando λ = 2 : - 1 - 1 2 2

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