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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 7

Dizemos que uma matriz simétrica A , n   x   n , é (definida) positiva se X t A X > 0 , para todo X ∈ R n ,   X ≠ 0 - ,   X escrito como matriz coluna. Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações:

a) A matriz A e definida positiva.

b) A e simétrica e todos os autovalores de A são positivos.

c) Existe uma matriz definida positiva B tal que A = B 2 . A matriz B e chamada a raiz quadrada de A .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos seja uma matriz simétrica A , n   x   n , é (definida) positiva se X t A X > 0 , para todo X ∈ R n ,   X ≠ 0 - ,   X escrito como matriz coluna. Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações:

a) A matriz A e definida positiva.

b) A e simétrica e todos os autovalores de A são positivos.

c) Existe uma matriz definida positiva B tal que A = B 2 . A matriz B e chamada a raiz quadrada de A .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que a matriz simétrica A ,   n   x   n é definida por,

x t A x > 0 , para todo X ∈ R n ,   x ≠ 0 -

Temos que na letra (a) para determinar se a matriz A é definida como positiva temos que,

A t = P D P t = P t t D t P t = P D P t = A

Ficando,

A t ≠ 0

Na letra (b) para determinar se A é simétrico a todos os valores de A positivo temos,

A V 1 = λ 1 V 1     e     A V 2 = λ 2 V 2

Ficando,

A V 1 . V 2 = A V 1 t V 2 = V 1 t A t V 2

Logo,

λ 1 . V 1 . V 2 = λ 2 . V 1 . V 2 , sendo

V 1   e   V 2 são ortogonais

E por fim na letra ( c ) para saber se existe uma matriz positiva B tal que, A = B 2 , temos

A k = λ 1 k 0 … 0 0 λ 2 k … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 … 0 λ n k 2

Sendo,

A = B 2 k → r e p r e s e n t a ç ã o   d e   f a t o r e s   p o s i t i v o s .

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) A t ≠ 0

b) V 1   e   V 2 são ortogonais

c) A = B 2 k → r e p r e s e n t a ç ã o   d e   f a t o r e s   p o s i t i v o s .

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Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:⎜ 1 0 ⎜⎜ ⎜⎜ - 2 1 ⎜⎜ ⎜