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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 4

Ache uma reta que passa pelo ponto (1, −2, 3) e que forma ângulos de 45 ° o e 60 ° com os eixos x e y respectivamente.

Passo 1

Vamos lá!

Seja a , b , c o vetor diretor da reta procurada.

O eixo x pode ser escrito como o vetor ( 1,0 , 0 ) e o eixo y como o vetor ( 0,1 , 0 ) .

Podemos fazer então:

cos ⁡ 45 ° =   | a , b , c 1,0 , 0 | a 2 + b 2 + c 2

2 2 = a a 2 + b 2 + c 2

cos ⁡ 60 ° =   | a , b , c 0,1 , 0 | a 2 + b 2 + c 2

1 2 = b a 2 + b 2 + c 2

Passo 2

Podemos fixar arbitrariamente o valor da norma do vetor ( a , b , c ) .

Pra ficar mais fácil, vamos fixar a norma como a 2 + b 2 + c 2 = 2 :

2 2 = a 2

a = 2

1 2 = b 2

b = 1

Substituindo isso, encontramos:

a 2 + b 2 + c 2 = 4

2 + 1 + c 2 = 4

c 2 = 1 → c = 1

Passo 3

Então, podemos considerar que o vetor da reta procurada é:

+ 2 ,   ± 1 ,   ± 1

Daí, teremos várias possibilidades para essa reta, vamos escrever assim mesmo para abranger todas:

r :   x = 1 ± 2 t y = - 2 ± 1 t z = 3 ± 1 t ,   t ∈ R

Resposta

r :   x = 1 ± 2 t y = - 2 ± 1 t z = 3 ± 1 t ,   t ∈ R

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