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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 5

Obtenha os vértices B e C do triangulo equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e sabendo que o lado BC está contido na reta r : (x, y, z) = t(0, 1, −1). (Sugestão: Determine os pontos P r da reta r tais que P r A → faz ângulo de 60 ° e 120 ° com o vetor diretor da reta r)

Passo 1

Opa! Vamos seguir essa sugestão aí!

Um ponto genérico P r da reta r pode ser escrito como:

P r = ( 0 , t , - t )

Então o vetor P r A → é:

P r A → = - 1 ,   t - 1 ,   - t

Agora vamos usar a expressão do ângulo...

Passo 2

Fazendo o produto interno do vetor P r A   com o vetor da reta :

- 1 ,   t - 1 ,   - t ⋅ 0,1 , - 1 = t - 1 + t = 2 t - 1

Agora as normas dos vetores:

P r A = 1 + t - 1 2 + - t 2 = 2 t 2 - 2 t + 2 = 2 t 2 - t + 1

v → = 0 2 + 1 2 + - 1 2 = 2

Então...

cos ⁡ 60 ° = | 2 t - 1 | 2 t 2 - t + 1   2

1 2 = 2 t - 1 2 t 2 - t + 1    

1 = 2 t - 1 t 2 - t + 1  

2 t - 1 = t 2 - t + 1

4 t 2 - 4 t + 1 = t 2 - t + 1

3 t 2 - 3 t = 0

t = 0     o u   t = 1

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para o ângulo de 120 ° ...

C o s   120 ° =   | 2 t - 1 | 2 t 2 - t + 1

- 1 2 = | 2 t - 1 | 2 t 2 - t + 1

- t 2 - t + 1 = | 2 t - 1 |

4 t 2 - 4 t + 1 = t 2 - t + 1

t = 0   o u   t = 1

Como deu a mesma coisa, a gente já sabe que os dois valores servem. Um vai ser para determinar o ponto B   e o outro para o ponto C .

Passo 4

Substituindo t = 0 na reta r : x , y , z = t 0,1 , - 1 , encontramos o ponto:

B = 0,0 , 0

E substituindo t = 1 , encontramos o ponto:

C = ( 0,1 , - 1 )

Prontinho!

Resposta

B = 0,0 , 0

C = ( 0,1 , - 1 )

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