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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 13

Ache X tal que X xx ( vec i + vec k ) = 2 ( vec i + vec j - vec k ) e ‖X‖ = sqrt(6) .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos ter o cuidado de observar a notação de duas barras laterais de cada lado representando o módulo de X.

Escreveremos o vetor X:

X = ( a , b , c )

A equação vetorial fica reescrita da seguinte forma:

(a vec i + b vec j + c vec k) xx (vec i + vec k) = 2 (vec i + vec j - vec k)

O produto vetorial do lado esquerdo da equação fica:

|[[i,j,k],[a,b,c],[1,0,1]]| = b i + 0 k + c j - b k - a j + 0 i = b i + (c - a) j - b k

Daí temos que:

b i + (c - a) j - b k = 2 i + 2 j - 2 k = > b = 2 e c - a = 2

Passo 2

Usando a outra equação fornecida temos que:

sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = sqrt(6) = > a^2 + 2^2 + c^2 = 6 = > a^2 + c^2 = 6 - 4 = 2

Dessa forma teremos um sistema de equações:

{[[- a + c = 2],[a^2 + c^2 = 2]])

Fazendo c = 2 + a teremos:

a^2 + (2 + a)^2 = 2 = > a^2 + 4 + 4 a + a^2 - 2 = 0 = > 2 a^2 + 4 a + 2 = 0

o u a^2 + 2 a + 1 = 0

Que é resolvida pelo padrão da equação de segundo grau:

a = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 * 1 * 1))/(2 * 1) = (- 2 +- sqrt(0))/(2) = - 1

Como a = - 1, temos que:

c = 2 + a = 2 - 1 = 1

O vetor X procurado é dado por:

X = ( - 1 , 2 , 1 )

Resposta

X = ( - 1 , 2 , 1 ) .

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