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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 2

Mostre que os seguintes subconjunto de R 4 são subespaços:

W = x , y , z , t ∈ R 4 x + y = 0   e   z - t = 0 }

U = x , y , z , t ∈ R 4 2 x + y - t = 0   e   z = 0 }

Passo 1

Fala ai meu querido, para resolver essa questão vamos ter que verificar duas condições:

i )   u ,   v ∈ W ⇒ u + v ∈ W

i i )   a ∈ R   e   u ∈ W ,   e n t ã o   a u ∈ W

Ou seja, vamos verificar se esses subconjuntos são fechados para a soma, e fechados para a multiplicação de escalar.

Passo 2

Para testar para a soma vamos supor dois vetores u   e   v pertencentes ao subconjunto W , seguindo as condições dadas pelo subconjunto W ,   podemos escrever:

u = ( x , - x , t , t )

v = ( p , - p , q , q )

Vamos agora provar que u + v também pertence ao subconjunto W .

u + v = x , - x , t , t + p , - p , q , q = ( x + p ,   - x - p , t + q , t + q )

Repare que ( x + p ) + ( - x - p ) = 0 e que ( t + q ) - t + q = 0 , o que mostra para gente que as coordenadas de u + v satisfazem as condições dadas para os vetores de W , então u + v ∈ W .

Passo 3

Temos agora que verificar a multiplicação por escalar. Seja a ∈ R e u ∈ W . Então:

a u = a x , - x , t , t = ( a x , - a x , a t , a t )

Novamente é possível mostrar que a u satisfaz as condições dos vetores em W . a x + - a x = 0   e   a t - a t = 0 , portanto a u ∈ W .

Passo 4

Vamos repetir o procedimento de verificação das condições, porém agora com os dados sobre os vetores do conjunto U . Dadas as condições, podemos escrever os vetores de U como:

u = ( x , y , 0 ,   2 x + y )

w = ( p ,   q ,   0 ,   2 p + q )

Verificando a soma:

u + w = x , y , 0 ,   2 x + y + p , q , 0 ,   2 p + q = ( x + p , y + q , 0 ,   2 x + p + y + q )

Novamente é possível observar que u + w obedece ao formato de um vetor pertencente a U , do que temos que u + w ∈ U .

Passo 5

Verificando a multiplicação por escalar:

a u = a x , y , 0 ,   2 x + y = ( a , a y , 0 ,   2 a x + ( a y ) )

Podemos ver que a u obedece às condições de U , do que segue que a u ∈ W .

Resposta

Demonstração.

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