Exercícios de Dimensão - Lista de Exercícios Resolvida

Faça o que se pede

a) Encontre uma base para:

Além disso, diga qual a dimensão de .

b) O conjunto:

é linearmente independente? Calcule também .

c) Dê uma base e uma dimensão para :

Dizemos que duas matrizes comutam se satisfazem . Considere o conjunto de todas as matrizes que comutam com

Considere agora o caso particular das matrizes e .

e) Calcule a dimensão de .

Sejam U e W dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V de dimensão 5. Suponha que dim(U) = dim(W) = 3 e para cada existem tal que Então é corretor afirmar que

tal que então necessariamente

Sejam , e considere o subespaço vetorial

De . Se , então é igual a

Sejam um inteiro, um espaço vetorial de dimensão munido de um produto interno e com não nulos e dois a dois distintos. Considere as seguintes afirmações:

se o conjunto é ortogonal, então é uma base de

se é uma base de V, então o conjunto é ortogonal;

o conjunto é ortogonal se, e somente se, a matriz

Tem determinante positivo

Assinale a alternativa correta:

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

Considere, em , o produto interno definido por Se , então é igual a

Calcule a dimensão de , onde

1. .
2. .
3. .
4. .

Seja . Então:

Existem dois vetores de que, junto com , geram

gera

Quaisquer dois vetores de , junto com , geram

Existem dois vetores de que, junto com geram

Abaixo, cada “quadradinho” representa um número diferente de zero. (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes!) Qual dos conjuntos abaixo pode ter dimensão menor do que 3?

(a)

(b)

(c)

(d)

Determine a dimensão do conjunto abaixo:

(a) 2

(b) 4

(c) 1

(d) 3

Determine a dimensão do conjunto abaixo

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

b) As colunas de uma matriz de tamanho correspondem a uma lista de vetores do

Seja A uma matriz Aplicando-se operações elementares às linhas de A, obtém-se a matriz E abaixo:

Pode-se afirmar que:

(a) é base do espaço gerado pelas linhas de A.

(b) gera a imagem de A.

(c)

(d)

Em se consideram os subespaços vetoriais

Então

Seja V o subespaço vetorial de gerado pela família , onde , , , , . A dimensão de V é igual a:

Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.

a) Seja um sistema linear homogêneo com equações e variáveis. Se , então existem duas soluções linearmente independentes.

b) Em , é possível encontrar dois subespaços vetoriais e com e tais que a soma seja direta.

Determine a dimensão do conjunto abaixo:

(a) 3

(b) 4

(c) 1

(d) 2

Em , considere os subespaços vetoriais

Assinale a afirmação correta:

Considere W o subespaço do gerado por , , e . Isto é, W=[

i. O vetor (2,-3,2,2) pertence a W?

ii. Determine uma base para W e sua dimensão.

iii. W=? Justifique.

Sejam um conjunto linearmente independente em e o espaço gerado por este conjunto. Seja ainda . Considere as afirmações:

1. O conjunto é linearmente independente.
2. O conjunto é linearmente independente.

Então:

ambas são verdadeiras

ambas são falsas

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

Determine a dimensão do conjunto abaixo:

a)

b)

c)

d)

e) Não sei.

Sejam S e T os subespaços de definidos por

Onde é a derivada da função polinomial em relação à variável x. Considere as seguintes afirmações.

Qual dos sistemas abaixo possui um conjunto-solução de dimensão 2?

(a)

(b)

(c)

(d)

Sejam , e sequências infinitas definidas por , e . Considere a soma e o produto por escalar análogos aos do (isto é, componente a componente). Então a é:

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) Infinito

Seja S o subespaço vetorial de gerado por

Então, a dimensão de S é igual a

Considere os subespaços

Do espaço vetorial , de todas as funções contínuas de em , e

Do espaço vetorial , de todos os polinômios com coeficientes reais. É correto afirmar que e são, respectivamente, iguais a:

Escolha uma opção:

Sejam

e .

Nestas condições S e T são subespaços vetoriais de e

;

Sejam . Então, a dimensão do subespaço vetorial do espaço vetorial é