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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 8

Ache um vetor v → que forma ângulos iguais com ( 1,0 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) é ortogonal a u →   =   ( 2 , - 2,2 ) , | v | →   = 24   , sendo agudo o ângulo que v →   forma com ( 0,1 , 0 )   .

Passo 1

Fala, povo! Continuaremos a substituição de fórmula igual às questões anteriores. Então vamos lá, precisamos ter um vetor qualquer dado por v →   =   ( x , y , z ) e analisar cada situação dada na questão.

Vamos lá!

i) Para v →   ortogonal a u →   =   ( 2 , - 2,2 ) , temos que v →   ⋅ u →   =   0 . Daí

v →   ⋅ u →   =   ( x , y , z ) ⋅ ( 2 , - 2,2 )   = 0   ⇒ 2 x   - 2 y   +   2 z   =   0  

ii) A norma   | v | →   = 24 , então:

  | v | →   = x 2   +   y 2   +   z 2     = 24     ⇒   x 2   +   y 2   +   z 2     =   24

iii) Sabemos que para encontrarmos o ângulo utilizando o produto escalar, basta utilizarmos a seguinte fórmula: c o s   α   =   u →   ⋅ v → | u → | | v → | . Como os ângulos de v → com ( 1,0 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) serão iguais, temos que:

( 1,0 , 0 )   ⋅ v → | ( 1,0 , 0 ) | | v → |   =   ( 0,0 , 1 )   ⋅ v → | ( 0,0 , 1 ) | | v → |   ⇒   x 1 24   =   z 1 24   ⇒ x   =   z ,

onde foi utilizado que   | v | →   = 24 .

Passo 2

Substituindo o resultado do item iii) em i), vem que

2 ( z )   - 2 y   +   2 z   =   0   ⇒ 2 y   =   4 z   ⇒   y   =   2 z

Agora, basta substituir o valor acima juntamente com x   =   z no item ii), para encontrarmos o valor de z . Daí,

z 2   +   ( 2 z ) 2   +   z 2     =   24   ⇒ 6 z 2   =   24   ⇒ z 2   =   4   ⇒ z   =   ± 2 .

Logo, v →   =   ± ( 2,4 , 2 ) .

Passo 3

Por fim, para descobrirmos qual dos sinais utilizar, analisaremos a condição de ângulo agudo entre ( 0,1 , 0 ) e v → . Para isso, temos

v → ⋅ ( 0,1 , 0 )   > 0   ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 0,1 , 0 )   >   0   ⇒ y   >   0     .

Para y   >   0 , temos que ter z   >   0 . Portanto,

v →   = ( 2,4 , 2 ) .

Resposta

v →   = ( 2,4 , 2 ) .

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