Ache um vetor v → que forma ângulos iguais com ( 1,0 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) é ortogonal a u →=( 2 , - 2,2 ) , | v | →= 24 , sendo agudo o ângulo que v → forma com ( 0,1 , 0 ) .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 8

Ache um vetor que forma ângulos iguais com e é ortogonal a , , sendo agudo o ângulo que forma com .

Passo 1

Fala, povo! Continuaremos a substituição de fórmula igual às questões anteriores. Então vamos lá, precisamos ter um vetor qualquer dado por e analisar cada situação dada na questão.

Vamos lá!

i) Para ortogonal a , temos que . Daí

ii) A norma , então:

iii) Sabemos que para encontrarmos o ângulo utilizando o produto escalar, basta utilizarmos a seguinte fórmula: . Como os ângulos de com e serão iguais, temos que:

onde foi utilizado que .

Passo 2

Substituindo o resultado do item iii) em i), vem que

Agora, basta substituir o valor acima juntamente com no item ii), para encontrarmos o valor de . Daí,

Logo, .

Passo 3

Por fim, para descobrirmos qual dos sinais utilizar, analisaremos a condição de ângulo agudo entre e . Para isso, temos

Para , temos que ter . Portanto,

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Determine x de modo que u → e v → sejam ortogonais.a) u → = ( x ,0 ,3 ) e v → = ( 1 ,x ,3 ) .b) u → = ( x ,x ,4 ) e v → = ( 4 ,x ,1 ) .c) u → = ( x + 1 ,1 ,2 ) e v → = ( x - 1 ,- 1 ,- 2 ) .d) u → = (

a) Prove os itens (b), (c) e (d) da proposição anterior.b) Prove que, quaisquer que sejam os vetores u → , v → e w → e os escalar α e β , vale a igualdade u → ⋅ α v → + β w → = α u → ⋅ v → + β u → ⋅ w

Faça uma lista de quatro vantagens do uso de bases ortonormais.

Observe a Proposição 9-7. Apenas como exercício, pois esta nomenclatura é habitualmente usada, relacione as palavras comutativa e distribuitiva a um ou mais itens do enunciado. Explique a ausência de

Prove que, se a matriz M é ortogonal, então det ⁡ M = 1 ou det ⁡ M = - 1 . Vale a recíproca?