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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 20

a) Prove os itens (b), (c) e (d) da proposição anterior.

b) Prove que, quaisquer que sejam os vetores u → , v → e w → e os escalar α e β , vale a igualdade u → ⋅ α v → + β w → = α u → ⋅ v → + β u → ⋅ w → .

Passo 1

O exercício pede para provarmos alguns itens da proposição anterior. Para isso, usaremos a fórmula:

x 1 ,   y 1 ⋅ x 2 ,   y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2

Note que eu omiti a coordenada z , o que não faz diferença nenhuma na demonstração, só optei por isso para deixar a notação um pouco mais simples...

A primeira propriedade que temos que mostrar é

u → ⋅ λ v → = λ u → ⋅ v → = λ   u → ⋅ v →

Para isso, escrevemos u → = x 1 ,   y 1 e v → = x 2 ,   y 2 . Assim,

λ v → = λ x 2 ,   λ y 2

λ u → = λ x 1 ,   λ y 1

Portanto,

u → ⋅ λ v → = x 1 ,   y 1 ⋅ λ x 2 ,   λ y 2 = λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 = λ   x 1 x 2 + y 1 y 2 = λ   u → ⋅ v →

Analogamente,

λ u → ⋅ v → = λ x 1 ,   λ y 1 ⋅ x 2 ,   y 2 = λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 = λ   x 1 x 2 + y 1 y 2 = λ   u → ⋅ v →

Passo 2

A segunda propriedade que queremos mostrar é u → ⋅ v → = v → ⋅ u → :

u → ⋅ v → = x 1 ,   y 1 ⋅ x 2 ,   y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 = x 2 ,   y 2 ⋅ x 1 ,   y 1 = v → ⋅ u →

Por fim, a última propriedade é: se u → ≠ 0 → , então u → ⋅ u → > 0 . Para isso:

u → ⋅ u → = x , y ⋅ x , y = x 2 + y 2 ≥ 0

Como u → ≠ 0 → , então ou x ou y (ou os dois) são diferentes de zero, de modo que x 2 + y 2 > 0 . Assim,

u → ⋅ u → > 0

Passo 3

Agora queremos mostrar u → ⋅ α v → + β w → = α u → ⋅ v → + β u → ⋅ w → . Para isso, usamos primeiro a propriedade (a):

u → ⋅ α v → + β w → = u → ⋅ α v → + u → ⋅ β w →

Em seguida usamos a propriedade (b):

u → ⋅ α v → = α u → ⋅ v →

u → ⋅ β w → = β u → ⋅ w →

Assim,

u → ⋅ α v → + β w → = α u → ⋅ v → + β u → ⋅ w →

Resposta

Demonstração.

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