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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 7

Determine o vetor u → sabendo que u → é combinação linear de ( 1 , - 3,0 ) e ( 0 , - 4,1 ) , u →   é ortogonal a ( 0,1 , - 2 )   , | u | →   =   3   e u →   forma um ângulo obtuso com k →   = ( 0,0 , 1 )   .

Passo 1

Fala, galerinha! Essa questão segue o mesmo princípio dos exercícios anteriores. A única coisa que precisamos cuidar é que para escrever u → como uma combinação linear dos vetores de base dados acima, é preciso a seguinte forma:

u →   =   α ( 1 , - 3,0 )   +   β ( 0 , - 4,1 ) .

Com a forma de u → montada, precisamos construir um sistema com as condições providas na questão. Daí, temos:

Para u →   é ortogonal a ( 0,1 , - 2 )   :

u →   ⋅ ( 0,1 , - 2 )   =   0    

⇒ α ( 1 , - 3,0 )   ⋅ ( 0,1 , - 2 )   +   β ( 0 , - 4,1 ) ⋅ ( 0,1 , - 2 ) =   0

⇒ α [ 1.0   + ( - 3 ) . 1   + 0 . ( - 2 ) ]   +   β [ 0 + ( - 4 ) . 1   + 1 . ( - 2 ) ] =   0

⇒ - 3 α     - 6 β =   0

⇒ α     = - 2 β

Então,

u →   = β ( - 2,6 , 0 )   +   β ( 0 , - 4,1 )

Sendo | u | →   =   3 , temos que | u | →   =   u → ⋅ u →       =   3 , mas

u → ⋅ u →     =   β 2   [ ( - 2,6 , 0 )   + ( 0 , - 4,1 ) ] ⋅ [ ( - 2,6 , 0 )   + ( 0 , - 4,1 ) ]    

⇒   β 2   [ ( - 2,6 , 0 ) ⋅ ( - 2,6 , 0 )   + ( 0 , - 4,1 ) ⋅ ( - 2,6 , 0 ) ]

+ β 2   [ ( - 2,6 , 0 ) ⋅ ( 0 , - 4,1 )   + ( 0 , - 4,1 ) ⋅ ( 0 , - 4,1 )   ]

⇒   β 2   [ ( 4   +   36 + 0 )   + ( 0 - 24 + 0 )   + ( 0 - 24   + 0 )   +   ( 0   +   16 + 1 ) ]

⇒   β 2   [ 40   - 24 - 24   +   17 ]

⇒ 9 β 2   .

Daí,

| u | →   = 3   ⇒   u → ⋅ u →       =   3   ⇒   9 β 2   =   9   ⇒ β   =   ± 1

Por enquanto não podemos o sinal de β .

Passo 2

Por fim, chegamos ao seguinte vetor u →   = ± [ ( - 2,6 , 0 )   +   ( 0 , - 4,1 ) ]   =   ± ( - 2,2 , 1 ) . Agora, resta analisar a condição do ângulo ser obtuso. Nesse caso, temos

u →   ⋅   k →   =   | u → | | k → | c o s   θ   < 0 ,

Por outro lado, temos

u →   ⋅   k →   = ±   ( - 2,2 , 1 ) . ( 0,0 , 1 )   = ± 1

Como devemos ter, necessariamente, u →   ⋅   k →   < 0 , então o sinal de beta deve ser negativo. Assim, ficamos com

u →   = - ( - 2,2 , 1 ) = ( 2 , - 2 , - 1 ) .

Resposta

u →   = ( 2 , - 2 , - 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

A Figura 9-4 (b) mostra um cubo. Sabendo que o comprimento de C M é o dobro do comprimento de G M , calcule a medida do ângulo B Â M Â .
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.a) u → ⋅ u → = 0 ⇔ u → = 0 → b) u → ⋅ v → = 0 ⇒ u → = 0 → o u v → = 0 → c) u → ⋅ v → - w → = u → ⋅ v → - u → ⋅ w → d) u → = - v → ⇒ u → ⋅ v → ≤ 0
Sendo vec u e vec v unitários, ‖vec w‖ = 4 , vec u * vec w = - 2 , vec v * vec w = - 4 , e a n g (vec u , vec v) = pi // 3 , calcule:(2 vec u - vec v + vec w) * ( - vec u + vec v )
Sejam u → , v → e w → vetores de norma 1 tais que u → ⋅ v → = w → ⋅ v → = u → ⋅ w → = 1 / 2 . Verifique se w → é combinação linear de u → , v → .
O lado do quadrado da Figura 9-4 (a) mede 2 e M é o ponto médio de B C .a) Escreva D M → e B D → como combinação linear de D C → e D A → .b) Calcule a medida angular entre D M → e B D → .