Determine o vetor u → sabendo que u → é combinação linear de ( 1 , - 3,0 ) e ( 0 , - 4,1 ) , u →   é ortogonal a ( 0,1 , - 2 )   , | u | →   =   3   e u →   forma um ângulo obtuso com k →   = ( 0,0 , 1 )   .

Passo 1

Fala, galerinha! Essa questão segue o mesmo princípio dos exercícios anteriores. A única coisa que precisamos cuidar é que para escrever u → como uma combinação linear dos vetores de base dados acima, é preciso a seguinte forma:

u →   =   α ( 1 , - 3,0 )   +   β ( 0 , - 4,1 ) .

Com a forma de u → montada, precisamos construir um sistema com as condições providas na questão. Daí, temos:

Para u →   é ortogonal a ( 0,1 , - 2 )   :

u →   ⋅ ( 0,1 , - 2 )   =   0    

⇒ α ( 1 , - 3,0 )   ⋅ ( 0,1 , - 2 )   +   β ( 0 , - 4,1 ) ⋅ ( 0,1 , - 2 ) =   0

⇒ α [ 1.0   + ( - 3 ) . 1   + 0 . ( - 2 ) ]   +   β [ 0 + ( - 4 ) . 1   + 1 . ( - 2 ) ] =   0

⇒ - 3 α     - 6 β =   0

⇒ α     = - 2 β

Então,

u →   = β ( - 2,6 , 0 )   +   β ( 0 , - 4,1 )

Sendo | u | →   =   3 , temos que | u | →   =   u → ⋅ u →       =   3 , mas

u → ⋅ u →     =   β 2   [ ( - 2,6 , 0 )   + ( 0 , - 4,1 ) ] ⋅ [ ( - 2,6 , 0 )   + ( 0 , - 4,1 ) ]    

⇒   β 2   [ ( - 2,6 , 0 ) ⋅ ( - 2,6 , 0 )   + ( 0 , - 4,1 ) ⋅ ( - 2,6 , 0 ) ]

+ β 2   [ ( - 2,6 , 0 ) ⋅ ( 0 , - 4,1 )   + ( 0 , - 4,1 ) ⋅ ( 0 , - 4,1 )   ]

⇒   β 2   [ ( 4   +   36 + 0 )   + ( 0 - 24 + 0 )   + ( 0 - 24   + 0 )   +   ( 0   +   16 + 1 ) ]

⇒   β 2   [ 40   - 24 - 24   +   17 ]

⇒ 9 β 2   .

Daí,

| u | →   = 3   ⇒   u → ⋅ u →       =   3   ⇒   9 β 2   =   9   ⇒ β   =   ± 1

Por enquanto não podemos o sinal de β .

Passo 2

Por fim, chegamos ao seguinte vetor u →   = ± [ ( - 2,6 , 0 )   +   ( 0 , - 4,1 ) ]   =   ± ( - 2,2 , 1 ) . Agora, resta analisar a condição do ângulo ser obtuso. Nesse caso, temos

u →   ⋅   k →   =   | u → | | k → | c o s   θ   < 0 ,

Por outro lado, temos

u →   ⋅   k →   = ±   ( - 2,2 , 1 ) . ( 0,0 , 1 )   = ± 1

Como devemos ter, necessariamente, u →   ⋅   k →   < 0 , então o sinal de beta deve ser negativo. Assim, ficamos com

u →   = - ( - 2,2 , 1 ) = ( 2 , - 2 , - 1 ) .

Resposta

u →   = ( 2 , - 2 , - 1 )

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