Agora prove a propriedade , usando o exercício anterior.

É muito importante, nesse ponto, entender corretamente como se forma uma submatriz. Para que você forme uma submatriz quadrada de ordem, digamos, , você deve escolher linhas e colunas da matriz em análise e identificar os elementos. Seja a matriz abaixo:

Então, por exemplo, se quiséssemos a submatriz da matriz acima correspondente às linhas e colunas , obteríamos:

Supondo então que você entendeu o que é e como se obtém uma submatriz, vamos à resolução.

Suponha que você possui uma matriz , com podendo ser diferente de .

Se e a maior submatriz com determinante não nulo for de ordem , o resultado segue diretamente da questão anterior.

Sem perda de generalidade, suponha . Nesse caso, a maior submatriz quadrada possui ordem . Suponha que o determinante de CADA submatriz quadrada de ordem é nulo. Então podemos zerar pelo menos uma linha de cada uma delas, ou seja, ao escolhermos uma qualquer, conseguimos zerar n elementos de uma dada linha, restando elementos para zerar. Para concluir isso é fácil, basta escolher mais submatrizes até que se consiga zerar todos os elementos dessa linha. Note que isso é sempre possível, pois qualquer submatriz de ordem que escolhermos possuirá determinante nulo e, da questão anterior, linhas linearmente dependentes.

Agora devemos continuar nossa investigação para . Se cada submatriz de ordem possuir determinante nulo, podemos repetir o processo anterior e zerar mais uma linha da matriz. Podemos deixar de fora a linha que já é zero, pois não temos mais interesse nela.

E assim você deve proceder até que encontre uma ordem de submatriz que possui pelo menos uma das submatrizes não singular. Nesse ponto, obviamente você deve parar o processo, não conseguindo zerar mais nenhuma linha da matriz.

A essa altura, você já zerou linhas da matriz, do que segue que o posto dela deve ser , isto é, a maior ordem de submatriz que apresenta ao menos um dos determinantes não nulos.