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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 21

Mostre que a área do triângulo na figura é dada pelo determinante:

1 2 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1

Passo 1

Basicamente, vamos encontrar a reta suporte de A B e a distância de C à essa reta, que é a altura relativa ao lado A B . Depois é só calcular o lado A B e finalizar o exercício.

Passo 2

Da geometria analítica, temos que a equação da reta que passa por A B é dada por:

x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x y 1 = 0 ⇒ y 1 - y 2 x - y x 1 - x 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0  

Fazendo a distância de C à essa reta:

h A B = y 1 - y 2 x 3 - y 3 x 1 - x 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 y 1 - y 2 2 + x 1 - x 2 2  

Mas:

y 1 - y 2 2 + x 1 - x 2 2 = A B

Ou seja:

h A B = y 1 - y 2 x 3 - y 3 x 1 - x 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 A B   ⇒

⇒ h A B A B = y 1 - y 2 x 3 - y 3 x 1 - x 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1

Aproveitando o determinante mais acima, podemos escrever o lado direito na nossa equação como sendo:

x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1

Logo:

h A B A B = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1

Passo 3

Lembrando que a área é b a s e × a l t u r a 2 , temos:

Á r e a   d o   t r i â n g u l o = h A B A B 2 = 1 2 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1

Resposta

Demonstração.

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