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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 19

Decida se matriz A = 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 é invertível e, caso for, usae o método da adjunta para encontrar a inversa.

Passo 1

Para essa questão, precisamos usar da matriz adjunta para chegar usarmos na equação

A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j ( a )

Passo 2

Vamos então calcular o determinante de A para sabermos se a matriz é invertível ou não:

det ⁡ A = 2 - 1 0 4 3 - 5 - 1 0 2 3 + 5 - 1 - 1 2 4

det ⁡ A = 2 - 3 - 0 - 5 - 3 - 0 + 5 - 4 - - 2

det ⁡ A = - 6 + 15 - 10

det ⁡ A = - 1

Como det ⁡ A ≠ 0 , A é invertível

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz adjunta. Ela é dada por:

a d j A = c o f A T

Portanto, para acharmos a adjunta, precisamos da matriz dos cofatores. Ela é calculada por:

c o f A = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33

Para calcularmos c i j , usamos:

c i j = - 1 i + j × M a t r i z   r e s u l t a n t e   d o   c o r t e   d a   l i n h a   i   e   c o l u n a   j

Passo 4

Vamos começar a calcular os cofatores:

c 11 = - 1 1 + 1 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 1 + 1 × - 1 0 4 3 = 1 [ - 3 - 0 ] = - 3

c 12 = - 1 1 + 2 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 1 + 2 × - 1 0 2 3 = - 1 [ - 3 - 0 ] = 3

c 13 = - 1 1 + 3 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 1 + 3 × - 1 - 1 2 4 = 1 [ - 4 - - 2 ] = - 2

c 21 = - 1 2 + 1 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 2 + 1 × 5 5 4 3 = - 1 [ 15 - 20 ] = 5

c 2 2 = - 1 2 + 2 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 2 + 2 × 2 5 2 3 = 1 [ 6 - 10 ] = - 4

c 2 3 = - 1 2 + 3 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 2 + 3 × 2 5 2 4 = - 1 [ 8 - 10 ] = 2

c 31 = - 1 3 + 1 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 3 + 1 × 5 5 - 1 0 = 1 [ 0 - - 5 ] = 5

c 3 2 = - 1 3 + 2 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 3 + 2 × 2 5 - 1 0 = - 1 [ 0 - - 5 ] = - 5

c 3 3 = - 1 3 + 3 × 2 5 5 - 1 - 1 0 2 4 3 = - 1 3 + 3 × 2 5 - 1 - 1 = 1 [ - 2 - - 5 ] = 3

Passo 5

Então, a matriz dos cofatores é dada por c o f A = - 3 3 - 2 5 - 4 2 5 - 5 3

Mas, como a matriz adjunta é dada por c o f A T . Logo

a d j A = - 3 5 5 3 - 4 - 5 - 2 2 3

Passo 6

Tendo a matriz adjunta, vamos aplicar na equação A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j ( a ) e achar a matriz inversa.

A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j a

A - 1 = 1 - 1 . - 3 5 5 3 - 4 - 5 - 2 2 3

A - 1 = 3 - 5 - 5 - 3 4 5 2 - 2 - 3

Resposta

A - 1 = 3 - 5 - 5 - 3 4 5 2 - 2 - 3

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