Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 1
Dê o número de inversões das seguintes permutações de :
- No determinante de uma matriz , que sinal (negativo ou positivo) precederia os termos e ?
Passo 1
Para responder aos itens , precisamos lembrar da definição de inversão, que é a definição do livro:
Dada uma permutação de inteiros , existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele.
Passo 2
Usando a definição fica fácil né? Então vamos aplicar essa definição à permutação do item a.
- é menor que e 4, mas é maior que 1 e 2, logo 2 inversões;
- 5 é maior que 4, 1 e 2, então há 3 inversões;
- 4 é maior que 1 e 2, então há 2 inversões;
- 1 é menor que 2, então não há inversão.
Conclusão: a permutação do item a tem 7 inversões.
Procedendo da mesma forma para os itens b e c, observa-se que eles tem 2 e 10 inversões, respectivamente.
Passo 3
Da definição de determinante, sabemos que o sinal que precede um termo é positivo se o número de inversões dos índices da coluna for par e negativo se o número de inversões dos índices da coluna for ímpar.
Para o termo , temos a seguinte permutação nas colunas:
Que corresponde ao item a. Já sabemos que essa permutação possui 7 inversões, então o sinal desse termo é negativo.
Para o termo , temos a seguinte permução das colunas:
Conforme já vimos anteriormente, o número de inversões é 10, do que segue que o sinal é positivo.
Resposta
- 7;
- 2;
- 10;
- Negativo e positivo, respectivamente.