Decida se matriz A = 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 é invertível e, caso for, usae o método da adjunta para encontrar a inversa. Passo 1Para essa questão, precisamos usar da matriz adjunta para chegar usarmos na equação A - 1 = 1 det A . a d j ( a ) Passo 2Vamos então calcular o determinante de A para sabermos se a matriz é invertível ou não: det A = 1 5 2 2 3 8 9 3 2 2 - 3 2 2 2 1 8 9 1 2 2 + 1 2 5 2 1 3 9 1 3 2 - 1 2 5 2 1 3 8 1 3 2 5 2 2 3 8 9 3 2 2 = 5 2 2 3 8 9 3 2 2 5 2 3 8 3 2 = 80 + 54 + 12 - 12 + 90 + 48 = - 4 2 2 2 1 8 9 1 2 2 = 2 2 2 1 8 9 1 2 2 2 2 1 8 1 2 = 32 + 18 + 4 - 4 + 36 + 16 = - 2 2 5 2 1 3 9 1 3 2 = 2 5 2 1 3 9 1 3 2 2 5 1 3 1 3 = 12 + 45 + 6 - 10 + 54 + 6 = - 7 2 5 2 1 3 8 1 3 2 = 2 5 2 1 3 8 1 3 2 2 5 1 3 1 3 = 12 + 40 + 6 - 10 + 48 + 6 = - 6 det A = - 4 - 3 - 2 + - 7 - - 6 det A = - 4 + 6 - 7 + 6 det A = 1 Como det A ≠ 0 , A é invertível Passo 3Agora, precisamos calcular a matriz adjunta. Ela é dada por: a d j A = c o f A T Portanto, para acharmos a adjunta, precisamos da matriz dos cofatores. Ela é calculada por: c o f A = c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 Para calcularmos c i j , usamos: c i j = - 1 i + j × M a t r i z r e s u l t a n t e d o c o r t e d a l i n h a i e c o l u n a j Passo 4Vamos começar a calcular os cofatores: c 11 = - 1 1 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 1 × 5 2 2 3 8 9 3 2 2 = - 4 c 12 = - 1 1 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 2 × 2 2 2 1 8 9 1 2 2 = 2 c 13 = - 1 1 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 3 × 2 5 2 1 3 9 1 3 2 = - 7 c 14 = - 1 1 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 4 × 2 5 2 1 3 8 1 3 2 = 6 c 21 = - 1 2 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 1 × 3 1 1 3 8 9 3 2 2 = 3 c 22 = - 1 2 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 2 × 1 1 1 1 8 9 1 2 2 = - 1 c 23 = - 1 2 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 3 × 1 3 1 1 3 9 1 3 2 = 0 c 24 = - 1 2 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 4 × 1 3 1 1 3 8 1 3 2 = 0 c 31 = - 1 3 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 1 × 3 1 1 5 2 2 3 2 2 = 0 c 32 = - 1 3 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 2 × 1 1 1 2 2 2 1 2 2 = 0 c 33 = - 1 3 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 3 × 1 3 1 2 5 2 1 3 2 = - 1 c 34 = - 1 3 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 4 × 1 3 1 2 5 2 1 3 2 = 1 c 41 = - 1 4 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 1 × 3 1 1 5 2 2 3 8 9 = - 1 c 42 = - 1 4 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 2 × 1 1 1 2 2 2 1 8 9 = 0 c 43 = - 1 4 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 3 × 1 3 1 2 5 2 1 3 9 = = 8 c 44 = - 1 4 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 4 × 1 3 1 2 5 2 1 3 8 = - 7 Passo 5Então, a matriz dos cofatores é dada por c o f A = 4 3 0 - 1 2 - 1 0 0 - 7 0 - 1 8 6 0 8 - 7 Mas, como a matriz adjunta é dada por c o f A T . Logo a d j A = 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7 Passo 6Tendo a matriz adjunta, vamos aplicar na equação A - 1 = 1 det A . a d j ( a ) e achar a matriz inversa. A - 1 = 1 det A . a d j a A - 1 = 1 12 . 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7 A - 1 = 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7 Resposta A - 1 = 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosProve que os vetores u = a 1 , b 1 , c 1ev = ( a 2 , b 2 , c 2 ) sã0 linearmente independentes se, e somente se, d e t a 1 b 1 a 2 b 2 2 + d e t a 1 c 1 a 2 c 2 2 + d e t b 1 c 1 b 2 c 2 2 ≠ 0Efetuando a multiplicação das matrizes, mostre diretamente que m.(adj.m)= det.m.I3Usando a transposta mT, mostre que, se detm ≠ 0 então existe uma matriz p tal que pm=I3Seja m uma matriz 3 x 3 cujas as linhas u, v e w são, duas a duas, ortogonais. Calcule o produto m . m T e parti daí, conclua que d e t . m = | u | . | v | . | w | .Sejam m e n matrizes do tipo 3x2 e 2 x3 respectivamente. Forme as matrizes m - e n - , ambas 3x3 acrescentando uma terceira coluna de zeros a m e uma terceira linha de zeros a n. mostre quem . n = m .Ver TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre DeterminantesLista de exercícios de Propriedades dos DeterminantesVer exercício 2.3 - 5Ver exercício 2.3 - 36d