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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 23

Decida se matriz A = 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 é invertível e, caso for, usae o método da adjunta para encontrar a inversa.

Passo 1

Para essa questão, precisamos usar da matriz adjunta para chegar usarmos na equação

A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j ( a )

Passo 2

Vamos então calcular o determinante de A para sabermos se a matriz é invertível ou não:

det ⁡ A = 1 5 2 2 3 8 9 3 2 2 - 3 2 2 2 1 8 9 1 2 2 + 1 2 5 2 1 3 9 1 3 2 - 1 2 5 2 1 3 8 1 3 2

5 2 2 3 8 9 3 2 2 = 5 2 2 3 8 9 3 2 2 5 2 3 8 3 2 = 80 + 54 + 12 - 12 + 90 + 48 = - 4

2 2 2 1 8 9 1 2 2 = 2 2 2 1 8 9 1 2 2 2 2 1 8 1 2 = 32 + 18 + 4 - 4 + 36 + 16 = - 2

2 5 2 1 3 9 1 3 2 = 2 5 2 1 3 9 1 3 2 2 5 1 3 1 3 = 12 + 45 + 6 - 10 + 54 + 6 = - 7

2 5 2 1 3 8 1 3 2 = 2 5 2 1 3 8 1 3 2 2 5 1 3 1 3 = 12 + 40 + 6 - 10 + 48 + 6 = - 6

det ⁡ A = - 4 - 3 - 2 + - 7 - - 6

det ⁡ A = - 4 + 6 - 7 + 6

det ⁡ A = 1

Como det ⁡ A ≠ 0 , A é invertível

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz adjunta. Ela é dada por:

a d j A = c o f A T

Portanto, para acharmos a adjunta, precisamos da matriz dos cofatores. Ela é calculada por:

c o f A = c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11 c 11

Para calcularmos c i j , usamos:

c i j = - 1 i + j × M a t r i z   r e s u l t a n t e   d o   c o r t e   d a   l i n h a   i   e   c o l u n a   j

Passo 4

Vamos começar a calcular os cofatores:

c 11 = - 1 1 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 1 × 5 2 2 3 8 9 3 2 2 = - 4

c 12 = - 1 1 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 2 × 2 2 2 1 8 9 1 2 2 = 2

c 13 = - 1 1 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 3 × 2 5 2 1 3 9 1 3 2 = - 7

c 14 = - 1 1 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 1 + 4 × 2 5 2 1 3 8 1 3 2 = 6

c 21 = - 1 2 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 1 × 3 1 1 3 8 9 3 2 2 = 3

c 22 = - 1 2 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 2 × 1 1 1 1 8 9 1 2 2 = - 1

c 23 = - 1 2 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 3 × 1 3 1 1 3 9 1 3 2 = 0

c 24 = - 1 2 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 2 + 4 × 1 3 1 1 3 8 1 3 2 = 0

c 31 = - 1 3 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 1 × 3 1 1 5 2 2 3 2 2 = 0

c 32 = - 1 3 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 2 × 1 1 1 2 2 2 1 2 2 = 0

c 33 = - 1 3 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 3 × 1 3 1 2 5 2 1 3 2 = - 1

c 34 = - 1 3 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 3 + 4 × 1 3 1 2 5 2 1 3 2 = 1

c 41 = - 1 4 + 1 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 1 × 3 1 1 5 2 2 3 8 9 = - 1

c 42 = - 1 4 + 2 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 2 × 1 1 1 2 2 2 1 8 9 = 0

c 43 = - 1 4 + 3 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 3 × 1 3 1 2 5 2 1 3 9 = = 8

c 44 = - 1 4 + 4 × 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 = - 1 4 + 4 × 1 3 1 2 5 2 1 3 8 = - 7

Passo 5

Então, a matriz dos cofatores é dada por c o f A = 4 3 0 - 1 2 - 1 0 0 - 7 0 - 1 8 6 0 8 - 7

Mas, como a matriz adjunta é dada por c o f A T . Logo

a d j A = 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7

Passo 6

Tendo a matriz adjunta, vamos aplicar na equação A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j ( a ) e achar a matriz inversa.

A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j a

A - 1 = 1 12 . 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7

A - 1 = 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7

Resposta

A - 1 = 4 2 - 7 6 3 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 8 - 7

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Prove que os vetores u = a 1 , b 1 , c 1ev = ( a 2 , b 2 , c 2 ) sã0 linearmente independentes se, e somente se, d e t a 1 b 1 a 2 b 2 2 + d e t a 1 c 1 a 2 c 2 2 + d e t b 1 c 1 b 2 c 2 2 ≠ 0
Efetuando a multiplicação das matrizes, mostre diretamente que m.(adj.m)= det.m.I3
Usando a transposta mT, mostre que, se detm ≠ 0 então existe uma matriz p tal que pm=I3
Seja m uma matriz 3 x 3 cujas as linhas u, v e w são, duas a duas, ortogonais. Calcule o produto m . m T e parti daí, conclua que d e t . m = | u | . | v | . | w | .
Sejam m e n matrizes do tipo 3x2 e 2 x3 respectivamente. Forme as matrizes m - e n - , ambas 3x3 acrescentando uma terceira coluna de zeros a m e uma terceira linha de zeros a n. mostre quem . n = m .