Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 61

Apresentar uma equação geral dos planos em que:

O plano passa pela origem e é paralelo às retas , e .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

Onde é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores , e do vetor normal , vamos encontrar usando as informações dos planos.

Passo 2

Aqui temos que como o plano é paralelo as retas e , temos que o vetor normal do plano é simultaneamente ortogonal aos vetores diretores das retas, vamos então achar esses vetores diretores.

Para a reta vamos encontrar dois pontos para poder achar o vetor diretor dela, vamos fazer e :

Temos então os pontos e , vamos então encontrar o vetor diretor de da seguinte forma:

Para a reta podemos tirar o vetor diretor direto da equação da reta:

Passo 3

Assim podemos então encontrar vetor da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre os vetores e , já que esses vetores são simultaneamente ortogonais ao vetor normal do plano:

Pronto, o vetor normal do plano é:

Agora é só substituir na equação do plano:

Passo 4

Só nos falta encontrar o valor de , e como temos que o plano passa pela origem temos o ponto , então é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de :