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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 3

Determine uma equação cartesiana do plano que passa pelas retas x - 1 3   = y + 2 5 = z + 6 13 e x - 4 9   = y - 3 5 = z - 7 4 .

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar essa questão encontrando a equação paramétrica das retas:

r : x - 1 3   = y + 2 5 = z + 6 13 = λ ⇒ x = 3 λ + 1 ,   y = 5 λ - 2 ,   z = 13 λ - 6

s : x - 4 9   = y - 3 5 = z - 7 4 = γ ⇒ x = 9 γ + 4 ,   y = 5 γ + 3 ,   z = 4 γ + 7

Agora, podemos identificar os vetores diretores das retas:

v → r = ( 3,5 , 13 )

v → s = ( 9,5 , 4 )

Passo 2

Já temos dois vetores l.i.. Além disso, sabemos que o ponto R = ( 1 , - 2 , - 6 ) pertence a reta r quando λ = 0 . Sendo assim, dado um ponto X = ( x , y , z ) pertencente ao plano, temos

X R → = R - X = ( 1 , - 2 , - 6 ) - ( x , y , z ) = ( 1 - x , - 2 - y , - 6 - z )

Os vetores X R → , v → r e v → s devem ser l.d., o que implica que o determinante seguinte é nulo:

⇒ ( 1 - x ) ( 20 - 65 ) - ( - 2 - y ) ( 12 - 117 ) + ( - 6 - z ) ( 15 - 45 )   =   0

⇒ - 45 ( 1 - x ) + 105 ( - 2 - y ) - 30 ( - 6 - z ) = 0

⇒ 45 x - 45 - 210 - 105 y     + 30 z + 180 = 0

⇒ 45 x - 105 y + 30 z - 75 = 0

Dividindo a equação acima por 15 , temos:

3 x - 7 y + 2 z - 5 = 0 .

Resposta

3 x - 7 y + 2 z - 5 = 0 .

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