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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 2

Determine k de modo que o ponto ( 3,1 , k ) pertença ao plano determinado por A   =   ( 1,1 , 2 ) , B   =   ( 3,0 , 2 ) e C   =   ( 4,1 , 3 ) .

Passo 1

Galera, o raciocínio aqui é o seguinte: primeiro encontramos o plano determinados pelos pontos A   =   ( 1,1 , 2 ) , B   =   ( 3,0 , 2 ) e C   =   ( 4,1 , 3 ) e depois substituímos ( 3,1 , k ) na equação do plano para determinar k . Vamos lá!

Os pontos fornecidos pela questão nos dão os seguintes vetores:

A B → = B - A = ( 3,0 , 2 ) -   ( 1,1 , 2 ) = ( 2 , - 1,0 )

A C → = C - A = ( 4,1 , 3 ) -   ( 1,1 , 2 ) = ( 3,0 , 1 )

Passo 2

Agora, escolhemos um ponto X = ( x , y , z ) presente no plano, de modo que

A X → = X - A = ( x , y , z ) - ( 1,1 , 2 ) = ( x - 1 , y - 1 , z - 2 )

Como os vetores A X → , A B → e A C → são l.d., o seguinte determinante deve ser nulo:

⇒ - ( x - 1 ) - 2 ( y - 1 ) + 3 ( z - 2 ) ⇒ - x + 1 - 2 y + 2 + 3 z - 6 = 0

⇒ - x - 2 y + 3 z - 3 = 0 ⇒ x + 2 y - 3 z + 3 = 0

Passo 3

Prontinho, já temos a equação do plano. Agora, vamos substituir ( 3,1 , k ) nessa equação para determinar k

x + 2 y - 3 z + 3 = 0 ⇒ 3 + 2 - 3 k + 3 = 0 ⇒ - 3 k + 8 = 0 ⇒ k = 8 3

Resposta

k = 8 3

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