E se V é autovetor de A k , então V é autovetor de A ? (Sugestão: veja o que acontece com uma matriz nilpotente)

Passo 1

Bom, pessoal, aqui parece muito intuitivo que essa afirmação seja verdade. Mas, olhando o exemplo da matriz nilpotente, podemos ter algo do tipo:

⎜       0                 1                 0           ⋯             0       ⎜

⎜       0                 0                 1           ⋯             0       ⎜

⎜ ⋯       ⋯       ⋯       ⋯       ⋯   ⎜

⎜       0                 0                 0           ⋯             1       ⎜

⎜       0                 0                 0           ⋯             0       ⎜

Essa matriz é nilpotente (dá uma olhadinha na resolução do exercício 1.1.29), ou seja, A k = 0 ̄ para algum valor de k . Então, nesse caso, temos A k V = 0 para qualquer vetor V . Mas, como você pode notar acima, A V ≠ 0 . Assim, a afirmação do enunciado é falsa. Entendeu?

Resposta

Veja a resolução acima.

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