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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 26b

E se V é autovetor de A k , então V é autovetor de A ? (Sugestão: veja o que acontece com uma matriz nilpotente)

Passo 1

Bom, pessoal, aqui parece muito intuitivo que essa afirmação seja verdade. Mas, olhando o exemplo da matriz nilpotente, podemos ter algo do tipo:

⎜       0                 1                 0           ⋯             0       ⎜

⎜       0                 0                 1           ⋯             0       ⎜

⎜ ⋯       ⋯       ⋯       ⋯       ⋯   ⎜

⎜       0                 0                 0           ⋯             1       ⎜

⎜       0                 0                 0           ⋯             0       ⎜

Essa matriz é nilpotente (dá uma olhadinha na resolução do exercício 1.1.29), ou seja, A k = 0 ̄ para algum valor de k . Então, nesse caso, temos A k V = 0 para qualquer vetor V . Mas, como você pode notar acima, A V ≠ 0 . Assim, a afirmação do enunciado é falsa. Entendeu?

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor. 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3
Sabendo que V 1 = - 4 ,- 4 ,- 1 ,V 2 = 5 ,4 ,1 e V 3 = 5 ,3 ,1 são autovetores da matriz A = - 1 3 - 5 6 20 3 - 2 3 - 1 6 16 3 - 1 6 - 1 6 11 6 b) A matriz é diagonalizável? Justifique
Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:b) 1 0 - 2 1
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor.b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2
Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:[[[1,4],[1,-,2]]]