Em cada caso, encontre (T_2 @ T_1) (x , y) .

  1. T_1 (x , y) = (- 2 y , 3 x , x - 2 y) , T_2 (x , y , z) = (y , z , x) , T_3 (x , y , z) = ( x + z , y - z )
  2. T_1 (x , y) = (x + y , y , - x) , T_2 (x , y , z) = (0 , x + y + z , 3 y) , T_3 ( 3 x + 2 y , 4 z - x - 3 y )

Passo 1

Show de bola galera, a gente sabe que de acordo com a Definição 1,”Se T_1 : U -> V e T_2 : V -> W forem transformações lineares, então a composição de T_2 com T_1 , denotada por T_2 @ T_1 é a aplicação definida pela fórmula

(T_2 @ T_1) (u) = T_2 ( T_1 (u) )

Em que u é um vetor em U .

Passo 2

Então na letra (a), temos T_1 (x , y) = (- 2 y , 3 x , x - 2 y) , T_2 (x , y , z) = (y , z , x) , T_3 (x , y , z) = ( x + z , y - z ) , logo

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 ( - 2 y , 3 x , x - 2 y )

T_2 (x , y , z) = (y , z , x) => T_2 (- 2 y , 3 x , x - 2 y) = ( 3 x , x - 2 y , - 2 y )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 3 x , x - 2 y , - 2 y )

Passo 3

Na letra (b), temos T_1 (x , y) = (x + y , y , - x) , T_2 (x , y , z) = (0 , x + y + z , 3 y) , T_3 ( 3 x + 2 y , 4 z - x - 3 y ) , logo

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 ( x + y , y , - x )

T_2 (x , y , z) = (0 , x + y + z , 3 y) => T_2 (x + y , y , - x) = ( 0 , x + y + y - x , 3 y )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 0 , 2 y , 3 y )

Resposta

  1. (T_2 @ T_1) (x , y) = ( 3 x , x - 2 y , - 2 y )
  2. (T_2 @ T_1) (x , y) = ( 0 , 2 y , 3 y )
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