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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 10

Em cada parte, seja T : R 2 → R 2 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre.

T - 1 x 1 x 2

  1. A = 5 2 2 1
  2. A = 6 - 3 4 - 2
  3. A = 4 7 - 1 3

Passo 1

Show de bola então, pra saber se a matriz possui inversa ou não antes de calcular ela, basta a gente saber se ela é quadrada e se ela tem n u l A = 0 , ou seja, se a dimensão do núcleo for 0 , nossa matriz é invertível.

Passo 2

Na letra (a), temos

A = 5 2 2 1

E nela, as duas colunas são linearmente independentes, logo n u l A = 0 , então ela possui inversa, e pra calcular essa inversa podemos usar o algoritmo do Capítulo 1.4, definido pelo Teorema 1.4.5, que diz que, seja uma matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, a d - d c ≠ 0 , nesse caso a inversa da matriz é dada por:

A - 1 = 1 a d - d c d - b - c a

Então

A = 5 2 2 1 ⇒ A - 1 = 1 5 - 2 2 1 - 2 - 2 5

A - 1 = 1 - 2 - 2 5

Passo 3

Na letra (b), temos

A = 6 - 3 4 - 2

Só que nessa matriz temos que a coluna 1 é - 2 vezes a coluna 2, ou seja, elas são múltiplas uma da outra, isso quer dizer que n u l A ≠ 0 , o que faz com que a matriz não tenha inversa.

Passo 4

Na letra (c) a matriz dada é

A = 4 7 - 1 3

E como aconteceu na letra (a), as duas colunas são independentes, o que faz com que a matriz tenha n u l A = 0 , logo a matriz é invertível e aplicando ao algoritmo, temos que

A = 4 7 - 1 3 ⇒ A - 1 = 1 4 3 - 7 - 1 3 - 7 1 4

A - 1 = 1 19 3 - 7 1 4

Resposta

  1. A - 1 = 1 - 2 - 2 5
  2. Não é invertível.
  3. A - 1 = 1 19 3 - 7 1 4
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Seja F ∈ L P 2 R , R , definida por F p t = ∫ - 1 1 p t d t . Determinar a matriz de F em relação às bases: B = 1 , t , t 2 e C = 1 ; B = 1,1 + t , - 1 + t 2 e C = - 2 ;
Seja F ∈ L P 2 R , R , definida por F p t = ∫ - 1 1 p t d t . Determinar a matriz de F em relação às bases: B = 1 , t , t 2 e C = 1 ; B = 1,1 + t , - 1 + t 2 e C = - 2 ;
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Calcular o traço da matriz do operador linear F ∈ L R 3 dado por F x , y , z = x , x - y , x + z . Generalizar para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .