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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 1

Em cada caso, encontre (T_2 @ T_1) (x , y) .

  1. T_1 (x , y) = (2 x , 3 y) , T_2 (x , y) = (x - y , x + y)
  2. T_1 (x , y) = (x - 3 y , 0) , T_2 (x , y) = ( 4 x - 5 y , 3 x - 6 y )
  3. T_1 (x , y) = (2 x , - 3 y , x + y) , T_2 (x , y , z) = ( x - y , y + z )
  4. T_1 (x , y) = (x - y , y , x) , T_2 = (x , y , z) = ( 0 , x + y + z )

Passo 1

Show de bola galera, a gente sabe que de acordo com a Definição 1,”Se T_1 : U -> V e T_2 : V -> W forem transformações lineares, então a composição de T_2 com T_1 , denotada por T_2 @ T_1 é a aplicação definida pela fórmula

(T_2 @ T_1) (u) = T_2 ( T_1 (u) )

Em que u é um vetor em U .

Passo 2

Então na letra (a), temos T_1 (x , y) = (2 x , 3 y) , T_2 (x , y) = (x - y , x + y) , logo

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 ( 2 x , 3 y )

T_2 (x , y) = (x - y , x + y) => T_2 (2 x , 3 y) = ( 2 x - 3 y , 2 x + 3 y )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 2 x - 3 y , 2 x + 3 y )

Passo 3

Na letra (b), temos T_1 (x , y) = (x - 3 y , 0) , T_2 (x , y) = ( 4 x - 5 y , 3 x - 6 y ) , logo

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 ( x - 3 y , 0 )

T_2 (x , y) = ( 4 x - 5 y , 3 x - 6 y ) => T_2 (x - 3 y , 0) = ( 4 (x - 3 y) - 5 (0) , 3 (x - 3 y) - 6 ( 0 ) )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 4 x - 12 y , 3 x - 9 y )

Passo 4

Na letra (c), temos T_1 (x , y) = (2 x , - 3 y , x + y) , T_2 (x , y , z) = ( x - y , y + z )

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 (2 x , - 3 y , x + y)

T_2 (x , y , z) = ( x - y , y + z ) => T_2 (2 x , - 3 y , x + y) = ( 2 x + 3 y , - 3 y + x + y )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 2 x + 3 y , x - 2 y )

Passo 5

Agora na letra (d), T_1 (x , y) = (x - y , y , x) , T_2 = (x , y , z) = ( 0 , x + y + z )

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 (x - y , y , x)

T_2 = (x , y , z) = ( 0 , x + y + z ) => T_2 (x - y , y , x) = ( 0 , x - y + y + x )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 0 , 2 x )

Resposta

  1. (T_2 @ T_1) (x , y) = (2 x - 3 y , 2 x + 3 y)
  2. (T_2 @ T_1) (x , y) = (4 x - 12 y , 3 x - 9 y)
  3. (T_2 @ T_1) (x , y) = ( 2 x + 3 y , x - 2 y )
  4. (T_2 @ T_1) (x , y) = ( 0 , 2 x )
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Seja T : R 3 → R 3 a projeção ortogonal de R 3 sobre o plano x y . Mostre que T ∘ T = T .
Sejam T 1 : P n → P n e T 2 : P n → P n os operadores lineares dados por T 1 p ( x ) = p ( x - 1 ) e T 2 p ( x ) = p ( x + 1 ) . Encontre ( T 1 ∘ T 2 ) ( p x ) e ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) .
Use a definição de T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 dada na Fórmula (3) para provar que T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 é uma transformação linear. T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 3 . T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 3 )
Seja q 0 x um polinômio de grau m fixado e defina a função T de domínio P n pela fórmula T p x = p q 0 x . Mostre que T é uma transformação linear.
Em cada parte, seja T : R 2 → R 2 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre. T - 1 x 1 x 2 A = 5 2 2 1 A = 6 - 3 4 - 2 A = 4 7 - 1 3