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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 5

5. Encontre uma matriz P que diagonalize

A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Ortogonalmente e determine a matriz diagonal D = P T A P .

Passo 1

Primeiro vamos achar os autovalores de A .

O polinômio característico fica:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 1 0 1 0 1 0 1 = 0

det ⁡ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 1 0 1 0 1 0 1 0 1 = 0

det ⁡ λ - 1 0 - 1 0 λ - 1 0 - 1 0 λ - 1 = 0

λ - 1 λ - 1 λ - 1 - - 1 λ - 1 - 1 = 0

λ - 1 3 - λ - 1 = 0

λ - 1 λ - 1 2 - 1 = 0

λ - 1 λ 2 - 2 λ + 1 - 1 = 0

λ - 1 λ 2 - 2 λ = 0

λ λ - 1 λ - 2 = 0

λ = 0

λ - 1 = 0

λ = 1

λ - 2 = 0

λ = 2

Passo 2

Agora pra achar os autoespaços:

Com λ = 0 :

- 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo o sistema:

- x 1 - x 3 = 0 - x 2 = 0 - x 1 - x 3 = 0

Então:

x 2 = 0

x 3 = - x 1

Podemos chamar: x 1 = t , então:

x = t 0 - t

x = t 1 0 - 1

Então 1 0 - 1 é uma base do autoespaço associado a λ = 1 .

Passo 3

Com λ = 1 :

0 0 - 1 0 0 0 - 1 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo o sistema:

- x 3 = 0 0 x 2 = 0 - x 1 = 0

Então:

x 1 = x 2 = 0

x 2   i n d e f i n i d o

Podemos chamar: x 2 = t , então:

x = 0 t 0

x = t 0 1 0

Então 0 1 0 é uma base do autoespaço associado a λ = 1 .

Passo 4

Com λ = 2 :

1 0 - 1 0 1 0 - 1 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo o sistema:

x 1 - x 3 = 0 - x 2 = 0 - x 1 + x 3 = 0

Então:

x 2 = 0

x 3 = x 1

Podemos chamar: x 1 = t , então:

x = t 0 t

x = t 1 0 1

Então 1 0 1 é uma base do autoespaço associado a λ = 2 .

Passo 5

Como as bases são bem simples, dá pra fazer o produto interno delas, duas a duas, de cabeça e ver que dá zero, então são ortogonais.......

Só precisamos achar, então, normalizar cada base... (que é dividir pela norma)

b n 1 = 1 1 2 + 0 2 + - 1 2 1 0 - 1

b n 1 = 1 2 1 0 - 1

b n 1 = 1 2 0 - 1 2

b n 2 = 1 0 2 + 1 2 + 0 2 0 1 0

b n 2 = 0 1 0

b n 3 = 1 1 2 + 0 2 + 1 2 1 0 1

b n 3 = 1 2 1 0 1

b n 3 = 1 2 0 1 2

Então, achamos a matriz P : (que é a matriz da junção dessas três bases)

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2

Passo 6

Só falta achar a Matriz diagonal agora.

D = P T A P

D = 1 2 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2

Fazendo aos poucos:

A P = 0 0 2 2 0 1 0 0 0 2 2

E agora:

P T A P = 1 2 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 0 0 2 2 0 1 0 0 0 2 2

P T A P = 0 0 0 0 1 0 0 0 2

Então:

D = 0 0 0 0 1 0 0 0 2

Passo 7

OBS... Se você ordenadar as bases de forma de ferente, como por exemplo:

P = 1 2 1 2 0 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0

A matriz diagonal só vai mudar os números de lugar:

D = 0 0 0 0 2 0 0 0 1

Mas também vai estar certo. A matriz P e a matriz D estão relacionadas.

Resposta

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2

D = 0 0 0 0 2 0 0 0 1

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