Mostre que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz se, e só se, u e v são linearmente independentes

Passo 1

Nessa questão precisamos considerar u → e v → linearmente independentes (L.I.). Portanto:

u → = c v →

Passo 2

Vamos começar com a desigualdade de Cauchy-Schwarz para ver se ela é válida

u → ,   v → ≤ u → v →

c v → ,   v → ≤ c v → v →

c v → ,   v → ≤ c v → v →

c v → 2 ≤ c v → 2

Então, a desigualdade é válida

Passo 3

Vamos agora usar a desigualdade só que sem a suposição de que u → = c v → . Assim, podemos testar se, de fato, esses vetores são L.I.

u → ,   v → ≤ u → v →

u → ,   v → v → ≤ u →

Aqui, vamos manipular que u → ,   v → v → = u → ,   v → v → 2 v →

u → ,   v → v → 2 v → ≤ u →

Agora, podemos tomar que c = u → ,   v → v → 2 . Então, nossa expressão fica

c v → ≤ u →       ∴         c v → = u

0 = u → - c v →

0 = u → - c v →         ∴           u → - c v → = 0

u → = c v →

Resposta

Logo, u → e v → linearmente independentes

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