Em cada parte, explique em palavras por que os vetores dados não são uma base do espaço vetorial dado.

d) A = 1 1 2 3 ,   B = 6 0 - 1 4 , C = 3 0 1 7 , D = 5 1 4 2 , E = 7 1 2 9 Para M 22

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de matrizes ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os vetores temos:

a ⋅ 1 1 2 3 +   b ⋅ 6 0 - 1 4 + c ⋅ 3 0 1 7 + d ⋅ 5 1 4 2 + e ⋅ 7 1 2 9 =   0 0 0 0

Isso nos gera um sistema de equações, organizando termo a termo fica:

a + 6 b + 3 c + 5 d + 7 e = 0 a + c + d = 0 2 a - b + c + 4 d + 2 e = 0 3 a + 4 b + 7 c + 2 d + 9 e = 0

Fazendo e = 0 , temos:

a + 6 b + 3 c + 5 d = 0 a + c + d = 0 2 a - b + c + 4 d = 0 3 a + 4 b + 7 c + 2 d = 0 ,   a = 0 ,   b = 0 ,   c = 0 ,   d = 0 .

Como nosso sistema só aceita a solução trivial ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) assim nosso sistema é L.I.

Passo 2

Agora precisamos conferir se nosso conjunto gera M 22 .

Para isso vamos testar se para uma matriz k l m n .

a ⋅ 1 1 2 3 +   b ⋅ 6 0 - 1 4 + c ⋅ 3 0 1 7 + d ⋅ 5 1 4 2 + e ⋅ 7 1 2 9 =   k l m n

a + 6 b + 3 c + 5 d + 7 e = k a + c + d = l 2 a - b + c + 4 d + 2 e = m 3 a + 4 b + 7 c + 2 d + 9 e = n

Como temos um sistema com 4 equações e 5 variáveis, temos mais de uma solução possível por variável, logo esse sistema não pode gerar todo o conjunto de matrizes 2 x 2 .

Assim é nosso conjunto não gera o todo o M 22 nosso conjunto não é base.

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

Não é base.

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