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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 4

4. Encontre o polinômio característico e as dimensões dos autoespaços da matriz simétrica

3 2 2 2 3 2 2 2 3

Passo 1

Sendo

A = 3 2 2 2 3 2 2 2 3

Então o polinômio característico vem de:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 3 2 2 2 3 2 2 2 3 = 0

det ⁡ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 3 2 2 2 3 2 2 2 3 = 0

det ⁡ λ - 3 - 2 - 2 - 2 λ - 3 - 2 - 2 - 2 λ - 3 = 0

λ - 3 λ - 3 λ - 3 + - 2 - 2 - 2 + - 2 - 2 - 2 - - 2 λ - 3 - 2 - - 2 - 2 λ - 3 - λ - 3 - 2 - 2 = 0

λ - 3 3 - 8 - 8 - 4 λ - 3 - 4 λ - 3 - 4 λ - 3 = 0

λ - 3 3 - 12 λ - 3 - 16 = 0

Passo 2

Vou fazer uma pequena mágica, maaaas você pode desenvolver e fazer o famoso briot ruffini pra achar a raiz e depois dividir o polinômio... ou qualquer outra técnica... vai dar a mesma coisa.

A dica é... Vamos considerar λ - 3 = x pra ficar um pouco mais fácil de visualizar: (e vamos fazer aparecer coisas que “queremos ver”:

x 3 - 12 x - 16 = 0

x 3 - 16 x + 4 x - 16 = 0

x x 2 - 16 + 4 x - 14 = 0

x x + 4 x - 4 + 4 x - 4 = 0

x - 4 x x + 4 + 4 = 0

x - 4 x 2 + 4 x + 4 = 0

x - 4 x + 2 2 = 0

Então:

x - 4 = 0  

x = 4

Portanto (voltando pra λ ):

λ - 3 = 4

λ = 7

Ou:

x + 2 = 0

x = - 2

Portanto:

λ - 3 = - 2

λ = 1

Passo 3

Para achar os autoespaços...

Com λ = 7 :

5 - 2 - 2 - 2 5 - 2 - 2 - 2 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos escalonar...

Dividindo a (linha 1) por 5:

1 - 2 5 - 2 5 - 2 5 - 2 - 2 - 2 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo (linha 2)=(linha 2)+2(linha 1) e (linha 3)=(linha 3)+2(linha 1):

1 - 2 5 - 2 5 0 5 + 2 - 2 5 - 2 + 2 - 2 5 0 - 2 + 2 - 2 5 5 + 2 - 2 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

1 - 2 5 - 2 5 0 21 5 - 14 5 0 - 14 5 21 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Multiplicando a linha 2 por 5/21 e a linha 3 por 5/14 pra ficar mais bonitinho:

1 - 2 5 - 2 5 0 1 - 2 3 0 - 1 3 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo (linha 3)=(linha 3)+(linha 2):

1 - 2 5 - 2 5 0 1 - 2 3 0 0 - 5 6 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Ficamos, então, com o sistema:

x 1 - 2 5 x 2 - 2 5 x 3 = 0 x 2 - 2 5 x 3 = 0 - 5 6 x 3 = 0

Putz... deu ruim esse.. porque a solução não pode ser a trivial ( x 1 = x 2 = x 3 = 0 )

Passo 4

Vamos orar e ir pro próximo autovalor:

Com λ = 1 :

- 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Olha... por mais estranho que pareça, essa é uma ótima resposta...

Porque x 1 , x 2 e x 3 podem assumir qualquer valor...

Então, o vetor x :

x = x 1 x 2 x 3

Podemos escrever também da forma:

x = x 1 0 0 + 0 x 2 0 + 0 0 x 3

x = x 1 1 0 0 + x 2 0 1 0 + x 3 0 0 1

Então 1 0 0 , 0 1 0 e 0 0 1 são as bases do autoespaço.

Resposta

λ - 3 3 - 12 λ - 3 - 16 = 0

1 0 0 , 0 1 0 e 0 0 1 são as bases do autoespaço.

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