Mostre que se U for uma matriz unitária n × n e z 1 = z 2 = … = z n = 1 então o produto

Também é unitário.

Passo 1

Antes de tudo, devemos nos lembrar que o produto entre duas matrizes unitárias é também unitário. Pois bem, e no que isso ajudará a resolver o problema? Pra ser sincero isso vai ser a chave da resolução do nosso problema pois vamos embasar nossa resolução na tentativa de mostrar que a matriz que contém os z ' s é unitária. Sendo assim, tomemos os vetores de linha dessa matriz que serão dados por

L 1 = z 1 , 0 , …   ,   0 ,   L 2 = 0 ,   z 2 ,   … ,   0 , … ,   L n = 0,0 , … ,   z n

Como temos que z 1 = z 2 = … = z n = 1 , as normas desses nossos vetores serão

L 1 = z 1 2 + 0 = 1

L 2 = z 2 2 + 0 = 1

L n = z n 2 + 0 = 1

Passo 2

Então, encontramos que

r 1 r 2 = z 1 0 - + 0 z 2 - + … + 0 0 - = 0

r 2 r 3 = 0 0 - + z 2 0 - + … + 0 z 3 - = 0

r n - 1 r n = 0 0 - + 0 0 - + … + z n - 1 z n - = 0

Como os vetores de linha formam um conjunto ortonormal entre si e lembrando novamente que o produto entre matrizes unitário é unitário teremos que o produto

É uma matriz unitária.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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