Para cada um dos pares de vetores e , encontrar a projeção ortogonal de sobre e decompor como soma de com , sendo e .
e
Passo 1
Vamos ver o que é uma projeção ortogonal:
Sejam os vetores e não nulos e o ângulo entre eles, podemos decompor um dos vetores, digamos , tal que:
Sendo e .
O vetor é chamado projeção ortogonal de sobre e indicado por:
Podemos calcular a projeção ortogonal de sobre da seguinte forma:
Vamos então calcular a projeção primeiro.
Passo 2
Vamos calcular usando:
Aqui vamos calcular os produtos escalares separadamente:
Agora é só substituir:
Pronto, achamos .
Passo 3
Para achar é simples, é só usar a expressão:
Vamos substituir os vetores:
Pronto, achamos a decomposição de em e .
Resposta
e