Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 42d
Para cada um dos pares de vetores e , encontrar a projeção ortogonal de sobre e decompor como soma de com , sendo e .
e
Passo 1
Vamos ver o que é uma projeção ortogonal:
Sejam os vetores e não nulos e o ângulo entre eles, podemos decompor um dos vetores, digamos , tal que:
Sendo e .
O vetor é chamado projeção ortogonal de sobre e indicado por:
Podemos calcular a projeção ortogonal de sobre da seguinte forma:
Vamos então calcular a projeção primeiro.
Passo 2
Vamos calcular usando:
Aqui vamos calcular os produtos escalares separadamente:
Agora é só substituir:
Pronto, achamos .
Passo 3
Para achar é simples, é só usar a expressão:
Vamos substituir os vetores:
Pronto, achamos a decomposição de em e .
Resposta
e
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Calcule 2 u → + 4 v → 2 , sabendo que u → é unitário, v → = 2 , e a medida angular entre u → e v → é 2 π / 3 radianos.
Sendo u → e v → unitários, w → = 4 , u → ⋅ w → = - 2 , v → ⋅ w → = - 4 , e a n gu → ,v → = π / 3 , calcule: w → - v → + u → ⋅ ( - u → + 2 w → + v → )
Sendo u → e v → unitários, w → = 4 , u → ⋅ w → = - 2 , v → ⋅ w → = - 4 , e a n gu → ,v → = π / 3 , calcule: u → + v → + w → ⋅ u →
A Figura 9-4 (b) mostra um cubo. Sabendo que o comprimento de C M é o dobro do comprimento de G M , calcule a medida do ângulo B Â M Â .
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.a) u → ⋅ u → = 0 ⇔ u → = 0 → b) u → ⋅ v → = 0 ⇒ u → = 0 → o u v → = 0 → c) u → ⋅ v → - w → = u → ⋅ v → - u → ⋅ w → d) u → = - v → ⇒ u → ⋅ v → ≤ 0