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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 41

Determinar os vetores projeção de v → = 4 i → - 3 j → + 2 k → sobre os eixos cartesianos x , y e z .

Passo 1

Podemos calcular a projeção ortogonal de v → sobre u → da seguinte forma:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Vamos usar essa fórmula então para calcular sobre os eixos cartesianos x , y e z , substituindo os vetores no lugar do vetor u → , e usando v → = 4 , - 3,2 .

Passo 2

Para x temos o vetor i → = 1,0 , 0 :

p r o j i → v → = v → ⋅ i → i → ⋅ i → i →

E vamos calcular os produtos escalares separadamente:

v → ⋅ i → = 4 , - 3,2 ⋅ 1,0 , 0 = 4 ⋅ 1 + - 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 = 4

i → ⋅ i → = 1,0 , 0 ⋅ 1,0 , 0 = 1   ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 1

Pronto, agora é só substituir:

p r o j i → v → = v → ⋅ i → i → ⋅ i → i → = 4 1 1,0 , 0 = 4 1,0 , 0 = 4,0 , 0 = 4 i →

Passo 3

Agora usando o mesmo esquema para y temos o vetor j → = 0,1 , 0 :

p r o j j → v → = v → ⋅ j → j → ⋅ j → j →

Calculando os produtos escalares separadamente:

v → ⋅ j → = 4 , - 3,2 ⋅ 0,1 , 0 = 4 ⋅ 0 + - 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = - 3

j → ⋅ j → = 0,1 , 0 ⋅ 0,1 , 0 = 0 ⋅ 0 + 1   ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 1

Pronto, substituindo temos:

p r o j j → v → = v → ⋅ j → j → ⋅ j → j → = - 3 1 0,1 , 0 = - 3 0,1 , 0 = 0 , - 3,0 = - 3 j →

Passo 4

E por último para z temos o vetor k → = 0,0 , 1 :

p r o j k → v → = v → ⋅ k → k → ⋅ k → k →

E vamos calcular os produtos escalares separadamente:

v → ⋅ k → = 4 , - 3,2 ⋅ 0,0 , 1 = 4 ⋅ 0 + - 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 = 2

k → ⋅ k → = 0,0 , 1 ⋅ 0,0 , 1 = 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 1   ⋅ 1 = 1

Pronto, agora é só substituir:

p r o j k → v → = v → ⋅ k → k → ⋅ k → k → = 2 1 0,0 , 1 = 2 0,0 , 1 = 0,0 , 2 = 2 k →

Resposta

p r o j i → v → 4 i → , p r o j j → v → = - 3 j → e p r o j k → v → = 2 k →

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